No clásicas de solución a $u_t-\Delta u=f$ en un espacio de dimensión?

Question

Yo sé que uno puede encontrar continua $f$ (digamos en una bola de $\bar B$ centrada en $0$) de tal manera que no existe clásica ( $\mathcal C^2$ ) $u$ a la ecuación de Poisson $\Delta u =f$$B$, y obviamente, esto requiere estar en la dimensión 2 o más. (Pero un clásico existe una solución tan pronto como $f$ es asumido Hölder continua). Este contraejemplo puede encontrarse por ejemplo en Qi Han de libro "Un Curso Básico de Ecuaciones Diferenciales Parciales" (enlace) p 136-137.

Ahora es fácil ver que para tal $f$ no existe solución clásica para la ecuación del calor homogénea $$u_t - \Delta u = - f(x) \;\;\;\mbox{ on } (0,T) \times B.$$

Pero el caso de un espacio de dimensión parece requerir un nuevo argumento.

Así que mi pregunta es esta :

Existe una función continua $f$ $[0,T] \times [-a,a] $ s.t. la ecuación de $u_t - u_{xx}=f(t,x)$ no tiene solución clásica ?

(Yo sé que si $f$ es Hölder continua en $x$, de manera uniforme en $t$, entonces se puede probar por la explícita fórmulas que no es una solución clásica.)

Answer 1

Un ejemplo puede ser construido de manera análoga a la elíptica caso.

Deje $u(t,x)=\left(2 t+x^2\right) \sqrt{\log \left(\frac{1}{t^2+x^4}\right)}\ $ en algunas barrio de el origen de $(t,x)\ne0$$u(0,0)=0\,$. Denotar $$ f(t,x)=u_t(t,x)-u_{xx}(t,x)= $$ $$ \frac{\left(-2 t^4+11 t^3 x^2+12 t^2 x^4-5 t x^6+6 x^8\right) \log \left(\frac{1}{t^2+x^4}\right)+4 x^6 \left(2 t+x^2\right)}{\left(t^2+x^4\right)^2 \log ^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{t^2+x^4}\right)}. $$ El uso de los Jóvenes de la desigualdad $$ |ab|\le \frac{|a|^p}p+\frac{|b|^q}q, $$ no $q=p/(p-1)\,$, es sencillo para estimar monomials en el numerador por el denominador polinomio $(t^2+x^4)^2$. Por ejemplo, para $t^3 x^2$ podemos poner $p=4/3$ obtener $t^4$$t^3$. A continuación, $q=4$ y $$ |t^3 x^2|\le \frac{t^4}{4/3}+\frac{(x^2)^4}{4}\le C(t^2+x^4)^2. $$ Así, la definición de $f(0,0)=0$ tenemos una función continua en algunos de vecindad del origen.

Desde el otro lado $$ u_t(t,x)= 2 \sqrt{\log \left(\frac{1}{t^2+x^4}\right)}-\frac{t \left(2 t+x^2\right)}{\left(t^2+x^4\right) \sqrt{\log \left(\frac{1}{t^2+x^4}\right)}} $$ y $$ \lim_{(x,t)\to0}u_t(x,t)=+\infty $$ debido a que el primer sumando.