Los Números complejos y su relación con las Matemáticas superiores

Question

Deje $z_1, z_2, \cdots, z_n$ ser números complejos satisfactoria $$|z_1|+|z_2|+\cdots +|z_n|=1.$$ Demostrar que hay un no-vacío es subconjunto de a $\{z_1,z_2,\cdots,z_n\}$ la suma de cuyos elementos se tiene el módulo de al menos $1/4.$

Era un problema de los Chinos Olimpiada Matemática y, por tanto, tiene una escuela primaria y hermoso solución. Pero el autor también señaló que el obligado a $1/4$ realidad puede ser mejorado a $1/\pi$ el uso de las matemáticas superiores. Traté de hacerlo yo mismo, pero han fracasado, alguien puede ayudar? Aprendí básica de análisis complejo, gracias.

Answer 1

Para $x\in\Bbb R$ deje $x^+$ ser la parte positiva de $x$; es decir, $x^+=x$ si $x\ge0$, $x^+=0$ si $x<0$. Calcular que para cualquier fijo $\theta$ $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}(\cos(t+\theta))^+\,dt=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}(\cos(t))^+\,dt=\frac1\pi.$$

Para $z\in\Bbb C$ vamos $$\phi(z)=(\Re z)^+.$$It follows that $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\phi(e^{it}z)\,dt=\frac1\pi|z|.$$(Write $z=re^{i\theta}$...)

Así $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sum_j\phi(e^{it}z_j)\,dt=\frac1\pi.$$Hence there exists $t$ with $$\sum_j\phi(e^{it}z_j)\ge\frac1\pi.$$Let $S=\{j\,:\,\Re(e^{es}z_j)\ge0\}$. Then the previous inequality shows that $$\Re\left( e^{it}\sum_{j\in S}z_j\right)\ge\frac1\pi,$$hence $$\left|\sum_{j\in S}z_j\right|\ge\frac1\pi.$$