Cómo computar Ext sobre un álgebra exterior

Question

Encontré esta pregunta en varios lugares (incluso en mathoverflow y mathstackexchange), pero nunca encontré una respuesta satisfactoria.

Sea $k$ un campo y $V$ un espacio vectorial $k$-finito dimensional. Me gustaría calcular $\mathrm{Ext}_{\bigwedge V}(k,k)$.

Buscando en línea parece que debería ser el dual del álgebra simétrica. El primer paso es calcular una resolución libre de $k$ sobre $\bigwedge V$. Siempre al mirar en línea parece que esta resolución debería lucir como

$$K_.:\cdots\rightarrow S^{k+1}V\otimes_k\bigwedge V\xrightarrow{d^{k+1}}S^kV\otimes_k\bigwedge V\rightarrow\cdots,$$

donde por $SV$ estoy denotando el álgebra simétrica. Creo que la diferencial debería ser

$$d^{k+1}(v_1\cdots v_{k+1}\otimes w)=\sum_i (-1)^{i+1}v_1\cdots\hat{v}_i\cdots v_{k+1}\otimes v_i\wedge w,$$

pero no estoy completamente seguro. De hecho, no es obvio para mí que este complejo sea acíclico. ¿Podrías decirme cómo demostrarlo?

Y una vez que sepamos que esta es una resolución, ¿cómo calculamos los Ext's? Parece que las diferenciales de $\mathrm{Hom}_{\bigwedge V}(K_.,k)$ son cero, pero no entiendo por qué. ¿Alguna ayuda, por favor?

(También estoy utilizando los tags de álgebra conmutativa y módulos ya que esta pregunta está relacionada con el complejo de Koszul.)

Answer 1

Estoy lejos de ser un experto en Ext, pero puedo explicar por qué el complejo de Koszul es acíclico.

Los subespacios $S^1 V$ de $SV$ y $\Lambda^1 V$ de $\Lambda V$ son canónicamente isomorfos. Sea $d\colon \Lambda^1 V \to S^1 V$ tal isomorfismo, y $h$ su inversa. Entonces tanto $d$ como $h$ se extienden de forma única a antiderivaciones en $KV := SV \otimes \Lambda V$, de grados respectivos $1$ y $-1$, donde fijamos $\deg \Lambda^1 V = 1$ y $\deg S^1 V = 2$. (Dado que quieres que $d$ sea una diferencial, $d S^1 V = d^2 \Lambda^1 V = 0$, y entonces está definido en todos los generadores del álgebra, por lo que la regla del producto hace el resto.)

También podemos graduar "multiplicativamente" $KV$ al dejar que $K^n V$ esté generado por productos de $n$ elementos de $V$ (en cualquiera de los factores tensoriales), de manera que sea la suma de los subespacios $S^j V \otimes \Lambda^{n-j} V$. Observa que en $K^1 V$, tenemos $$hd+dh = \mathrm{id}.$$ No es difícil mostrar inductivamente que en $K^n V$, $$hd+dh = n\cdot \mathrm{id}.$$

Estas homotopías en cadena entonces evidencian la aciclicidad de ambos DGAs $(KV,d)$ y $(KV,h)$.