Al $\overline{(a,b)}$ no es igual a $[a,b]$

Question

Lee topológico colectores 2.13 c) dice

Para cualquier par de puntos a,b en X muestran que $\overline{(a,b)}\subset[a,b]$.

He hecho eso, pero la siguiente:

Dar un ejemplo para mostrar que la igualdad no necesita tener.

Pensé $(a,b)=(-\infty,b]$, pero eso no es de la forma $(a,b)$, además de a $-\infty$ no es un punto de X.

X tiene la orden de topología que se genera por la subbasis $(-\infty,b)$$(a,\infty)$, para todo a y b, pero esto es sólo la topología euclidiana.

Answer 1

Tomar $$ X = [0,1] \copa [2, \infty), $$ bajo (la costumbre) el fin de la topología. Si $a = 0, b = 2$, entonces tenemos $$ \overline{(a,b)} = [0,1]. $$ Por otro lado, $$ [a,b] = [0,1] \cup \{2\}. $$

Answer 2

Tome $a=b$. A continuación,$\overline{(a,a)} = \overline\emptyset = \emptyset$, mientras que $[a,a] = \{a\}$.

Answer 3

$a ∈ \overline{(a, b)}$ si y sólo si para cada a $t > a$ tenemos $(a, t) ∩ (a, b) ≠ ∅$. Si $(a, b) ≠ ∅$ de la intersección es siempre vacío, a menos que $(a, t) = ∅$ algunos $t > a$. ¿Puedes ver cómo se ve cuando $(a, t) = ∅$ algunos $t > a$?

Answer 4

Considerar el límite inferior de la topología en $\mathbb{R}$ y entonces, ¿qué puedes decir sobre el cierre de $(0,\sqrt{2})$ en esta topología??