$\binom{2p-1}{p-1}\equiv 1\pmod{\! p^2}$ implica $\binom{ap}{bp}\equiv\binom{a}{b}\pmod{\! p^2}$; donde $p>3$ es un número primo.

Question

¿Cómo se obtiene a partir de $\binom{2p-1}{p-1}\equiv 1\pmod{\! p^2}$ la congruencia $\binom{ap}{bp}\equiv\binom{a}{b}\pmod{\! p^2},\,\forall a,b \in \mathbb N,\, a>b$; donde $p>3$ es un número primo?

Answer 1

Podemos comenzar con el Teorema de Wilson $(p-1)!=-1\mod p$. Esto permite $\dfrac{(kp-1)!}{(k-1)p!}=-1\mod p$, por ejemplo con $p=5$ y $k=2$, $9.8.7.6=3024\equiv-1\mod5$, porque estamos viendo $(kp-1)(kp-2)\dots ((k-1)p+1)$ en el que los términos sin un coeficiente de $p$ se relacionan con el Teorema de Wilson.

Entonces tenemos $\binom{2p-1}{p-1}\equiv1\mod p^2$, usando el Teorema de Wolstenholme.

De manera similar, $\binom{ap-1}{bp-1}\equiv 1\mod p^2$, y al dividir por los adecuados $p$ llegamos al resultado.

Answer 2

Tenemos dos congruencias $$ (1)\hspace{1cm}{2p-1\choose p-1}\equiv 1\!\!\!\mod p^2,\hspace{10mm}\text{y}\hspace{10mm} {ap\choose bp}\equiv {a\choose b}\!\!\! \mod p^2,\,\, a,b,\in\mathbb{N}.\hspace{1.1cm}(2) $$ Nos gustaría obtener $(2)$ a partir de $(1)$. Ambas congruencias realmente se mantienen módulo $p^3$.

Para $k$ un entero, definimos $ c_k=(kp-1)(kp-2)\ldots(kp-p+1) $. Podemos escribir nuestros coeficientes binomiales en términos de los $c_k$: $$ {2p-1\choose p-1}=\frac{c_2}{c_1},\;\;\;\;\;{ap\choose bp}={a\choose b}\frac{c_a c_{a-1}\ldots c_{a-b+1}}{c_bc_{b-1}\ldots c_1}. $$

Sea $H_n:=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ el $n$-ésimo número harmónico. Podemos calcular \begin{align*} \frac{c_k}{c_1}&=\left(1-\frac{kp}{1}\right)\left(1-\frac{kp}{2}\right)\ldots\left(1-\frac{kp}{p-1}\right)\\ &\equiv 1-k\,p H_{p-1}\mod p^2,\tag{3} \end{align*> donde para $r$, $s$ números racionales escribimos $r\equiv s\!\!\mod p^n$ para significar que $p^n$ divide al numerador de $r-s$. Por lo tanto, $(1)$ es equivalente a la afirmación $H_{p-1}\equiv 0\mod p$. Ahora $(3)$ y $H_{p-1}\equiv 0\!\!\!\mod p$ implican que $c_k/c_1\equiv 1\!\!\!\mod p^2$ para todo $k$ (y así $c_i/c_j\equiv 1\!\!\!\mod p^2$ para todo $i$, $j$), por lo que obtenemos $(2)$.

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Si en cambio estamos interesados en $(1)$ y $(2)$ módulo $p^3$, podemos fortalecer $(3)$: $$ \frac{c_k}{c_1}\equiv1-k\,pH_{p-1}+k^2\,p^2H_{p-1}(1,1)\mod p^3, $$ donde $H_{p-1}(1,1)$ es el valor del segundo polinomio simétrico elemental evaluado en $1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{p-1}$. El término final se anula (se puede verificar que $H_{p-1}(1,1)\equiv 0\!\!\mod p$), por lo que el fortalecimiento de $p^3$ de $(1)$ es equivalente a $H_{p-1}\equiv 0\!\!\!\mod p^2$, lo que implica el fortalecimiento de $(2)$.