Cómo colocar el signo negativo de la fracción

Question

Por ejemplo, tenemos:

$$ \frac{-1}{2} $$

¿Significa esto que sólo el numerador de la fracción es negativo?

¿Podemos decirlo así?

$$ -\frac{1}{2} $$ ¿Significa esto que la fracción entera es negativa?

¿Y entonces podemos ponerlo así?

$$ \frac{1}{-2} $$

¿Significa esto que sólo el denominador de la fracción es negativo?

¿Le parecen correctas las sugerencias anteriores? ¿O cómo debo entender cuando en algunos ejemplos el signo menos pasa del numerador a la fracción entera?

Answer 1

Tal vez quieras preguntarte qué se quiere decir cuando se pone un signo menos delante de algo. La respuesta podría ser, por ejemplo, que $-\frac ab$ es la solución de la ecuación $$x+\frac ab = 0$$ donde la incógnita es $x$ . Ahora, usted quiere saber si $\frac {-a}b$ es lo mismo que $-\frac ab$ . Sólo hay que comprobar si se resuelve la ecuación. $$\frac {-a}b + \frac ab = \frac{-ab+ab}{b^2} = \frac 0{b^2} = 0$$ Pero he aquí que lo mismo ocurre con $\frac a{-b}$ $$\frac a{-b} + \frac{a}{b} = \frac{ab + a(-b)}{(-b)(b)} = \frac{ab-ab}{-b^2} = \frac 0{-b^2} = 0$$

Concluimos que ambos $\frac {-a}b$ y $\frac a{-b}$ son opuestos al número $\frac ab$ es decir, ambos son $-\frac ab$ . Esto funciona debido a la forma en que se definen las fracciones y sus operaciones. Observa que he utilizado una forma primitiva de sumar fracciones, tomando como denominador común el producto de los denominadores (para evitar el uso de trucos conocidos).

Answer 2

El valor es el mismo para las tres versiones, aunque el valor puede ser visto como el resultado de una operación diferente: \begin{align} \frac{-a}{b} &= \frac{(-a)}{b} = (-a) / b = -(a / b) \\ -\frac{a}{b} &= -\left(\frac{a}{b}\right) = -(a / b) \\ \frac{a}{-b} &= \frac{a}{(-b)} = a /(-b) = - (a / b) \\ \end{align} La versión media es la más simétrica y, en mi opinión, la más utilizada; la otra versión puede aparecer durante los cálculos o en las explicaciones sobre cómo se calcula con fracciones.

Answer 3

Cuando se trabaja con fracciones, es importante entender dos cuestiones distintas pero interrelacionadas: la expresión en términos mínimos y la expresión canónica. Si tanto el numerador como el denominador son positivos, la fracción representa un número positivo, pero dependiendo de tus cálculos para obtener esa fracción, puedes o no tenerla en términos mínimos. Por poner un ejemplo sencillo: $$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$$

La fracción con 4 como numerador y 8 como denominador es un resultado válido de la suma, pero no está en términos mínimos. La fracción con 1 como numerador y 2 como denominador es en términos mínimos. Consideremos ahora $$\frac{3}{8} - \frac{7}{8} = \frac{-4}{8} = \frac{-1}{2}.$$

Desde $3 - 7 = -4$ la fracción con $-4$ como numerador y 8 como denominador es un resultado válido de la resta. Pero no está en términos mínimos. Ahora bien, ¿qué algoritmo utilizas para obtener una fracción en términos mínimos? La forma en que yo lo hago, veo si puedo dividir el numerador por factores en común con el denominador, realizo las divisiones y escribo el nuevo numerador, que en este caso es $-1$ . Luego realizo las mismas divisiones en el denominador, en este caso obteniendo 2, y luego escribo la barra de fracción y el nuevo denominador.

Pero esto en algunos casos implica una elección puramente estilística: podría decidir que no me gusta la forma en que $\frac{-1}{2}$ parece que podría borrarlo y cambiarlo por $-\frac{1}{2}$ . Mi preferencia personal es por el numerador negativo, ya que a veces el signo menos delante de la fracción parece demasiado fino para mi gusto, pero de cualquier manera, estamos hablando del mismo número, es decir $-0.5$ . Hay situaciones en las que prefiero colocar el signo menos delante de la fracción, como por ejemplo $$\left(\frac{\sqrt{65}}{2} - \frac{1}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{65}}{2} + \frac{1}{2}\right).$$

Aunque quizás preferiría expresarlo como $$\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2} \right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}\right).$$

Aquí entramos aún más en cuestiones de estilo. En ambos casos estamos hablando de los mismos números, pero tus preferencias sobre cómo escribir estos números pueden diferir de las mías. Una publicación puede establecer reglas que dicten que ciertas notaciones son canónicas o preferibles, pero también puede haber circunstancias en las que la redacción determine que estas reglas no son aplicables a un caso concreto.

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Por último, como ya le han dicho muchas otras personas, un numerador positivo con un denominador negativo puede darse en cálculos intermedios, pero es algo poco común en documentos correctamente editados y publicados. Tal vez exista una aversión innata a dividir por números negativos. Pero a veces no se puede evitar, al menos en los cálculos intermedios.

Answer 4

Como señala vadium123 en los comentarios, todos ellos son el mismo número.

Decir que tiene un "denominador negativo" o un "numerador negativo" o que la "fracción entera" es negativa no tiene sentido matemático. Un número es negativo o no lo es, y el número en cuestión es $- \frac{1}{2}$ .

Ya que al dividir $-1$ por $2$ y dividiendo $1$ por $-2$ ambos dan $-\frac{1}{2}$ es natural en nuestra notación para $\frac{-1}{2}$ , $\frac{1}{-2}$ y $-\frac{1}{2}$ significan exactamente lo mismo, pero decir que el "denominador" es negativo, que el "numerador es negativo", o que la "fracción entera" es negativa no significa realmente nada, porque es el propio número ( $-\frac{1}{2}$ ) que es positivo o negativo, no piezas de su apariencia escrita.