¿Existe una prueba directa de esta identidad lcm?

Question

La identidad

$\displaystyle (n+1) \text{lcm} \left( {n \choose 0}, {n \choose 1}, ... {n \choose n} \right) = \text{lcm}(1, 2, ... n+1)$

es probablemente poco conocido. La única forma que conozco de demostrarlo es utilizando Teorema de Kummer que el poder de $p$ dividiendo ${a+b \choose a}$ es el número de transportes necesarios para sumar $a$ y $b$ en la base $p$ . ¿Existe una prueba más directa, por ejemplo, demostrando que cada parte divide a la otra?

Answer 1

Considere _Triángulo armónico de Leibniz_ - una tabla que es como el "triángulo de Pascal invertido": en sus lados hay números $\frac{1}{n}$ y cada número es la suma de los dos que están debajo de él (ver el imagen ).

Se puede demostrar fácilmente por inducción que el m-ésimo número de la n-ésima fila del triángulo de Leibniz es $\frac{1}{(n+1)\binom{n}{m}}$ . Así que el LHS de nuestra identidad es sólo lcd de las fracciones en la fila n-ésima del triángulo.

Pero no es difícil ver que cualquier número de este tipo es una combinación lineal entera de las fracciones de los lados del triángulo (es decir $1/1,1/2,\dots,1/n$ ) - y viceversa. Así que el LHS es igual a $lcd(1/1,\dots,1/n)$ - y eso es exactamente RHS.

Answer 2

En general, para $0 \leq k \leq n$ existe una identidad

$(n+1) {\rm lcm} ({n \choose 0}, {n \choose 1}, \dots {n \choose k}) = {\rm lcm} (n+1,n,n-1, \dots n+1-k)$ .

Esto es simplemente el hecho de que cualquier combinación lineal entera de $f(x), \Delta f(x), \Delta^2 f(x), \dots \Delta^k f(x)$ es una combinación lineal entera de $f(x), f(x-1), f(x-2), \dots f(x-k)$ donde $\Delta$ es el operador de diferencia, $f(x) = 1/x$ y $x = (n+1)$ .

Answer 3

Necesitará algo inteligente. Para $n + 1 = 6$ , necesitas $6$ veces el lcm de $1, 5$ y $10$ para obtener suficientes potencias de 2 ( y 3 ). ¿Existe una caracterización de esos $n + 1$ donde todo el factor de $n + 1$ ¿se necesita, y no el lcm, para el lado izquierdo?