No entiendo la última línea de una prueba (que se supone es obvio...), ¿podría usted ayudarme?
El contexto es el siguiente. Tenemos un conjunto abierto acotado $U$ $\mathbb{R}^m$ $C^\infty$- asignación de $$F : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R} \times U \to \mathbb{R}^m$$ We also have a sequence $(u_n)_n$ of $W^{1,p}(U)$ ($p > 1$) and $u \W^{1,p}(U)$ such that $u_n$ converges uniformly to $u$ and $\nabla u_n$ converges weakly in $L^p(U,\mathbb{R}^m)$ to $\nabla u$. Last, we know that $|u| + |\nabla u| < M$ for some $M < +\infty$.
La primera cosa que dijo es que $F(\nabla u, u_n, .)$ converge uniformemente a$F(\nabla u, u, .)$$U$. Tengo la intuición de que es cierto, pero no sé cómo demostrarlo formalmente. Es obvio a partir de algún tipo de teorema acerca de la función de composición? Supongo que tengo que usar la condición de $|u| + |\nabla u| < M$, en algún lugar...
En segundo lugar, $$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\int_U F(\nabla u(x), u_n(x),x)\cdot (\nabla u_n(x) - \nabla u(x)) dx = 0$$(We know that the definite integral exists and is finite for each $n$). Se dijo que "la debilidad de la convergencia es, por su propia definición, compatible con las expresiones lineales, y por lo que el límite tiene", pero no entiendo esta declaración...
Gracias por adelantado si usted puede explicar a mí una de las dos afirmaciones (y lo siento por mi no es perfecto inglés) :). Yo tal vez han olvidado algunas hipótesis (aunque espero que no), así que no dudes si usted piensa que hay algo que falta o no está claro.
