¿Si $a$ conmuta con $b$, conmutar $a^{-1}$ $b$?

Question

$a,b$ son los elementos del grupo. ¿Si $a$ conmuta con $b$, conmutar $a^{-1}$ $b$?

¿Y cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Aliniación

Answer 2

Tenga en cuenta que si $$ab=ba$$ then multiply previous relation by $ a ^ {-1} $ from the left to get: $$b=e_Gb=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}(ba)=a^{-1}ba$$ Now , again multiply previous relation by $ a ^ {-1} $ from the right to get: $% $ $ba^{-1}=(a^{-1}ba)a^{-1}=a^{-1}b(aa^{-1})=a^{-1}be_G=a^{-1}b$

Answer 3

Más en general, subconjuntos $U\subseteq G$, normalizador de $U$ se define como $$ N_G(U):=\{\,g\in G\mid gU=Ug\,\}$ $ y es un subgrupo de $G$ ya

• $eU =U=Ue$ trivial
• $gU=Ug $ $hU=Uh$ implica $(gh)U=g(hU)=(gU)h=(Ug)h=U(gh)$
• implica de $gU=Ug$ $g^{-1}U=g^{-1}Ugg^{-1}=g^{-1}gUg^{-1}=Ug^{-1}$

es $N_G(U)$ es no vacío y cerrado bajo multiplicación y tomar inversos.

Usted está preocupado con el caso especial $U=\{b\}$ y el % de demanda $a\in N_G(U)\implies a^{-1}N_G(U)$.

Answer 4

@parsec ahora que has visto todas las respuestas que usted probablemente puede demostrar que cualquier % de la energía $a^n$conmuta con $b$, en otras palabras, el grupo generado por su $a$ y $b$, $<a,b>$, es abeliano.