Según Wikipedia, un Grupo topológico $G$ es un grupo y un topológica del espacio tal que $$ (x,y) \mapsto xy$ $ y $$ x \mapsto x^{-1}$ $
son continuos. ¿El segundo requisito se desprende la primera de ellas, no? (por tomar $y=0, x=-x$ en el primer requisito)
¿Así que nos podemos caer en la definición, derecho?
"La continuidad de $f\colon G\times G\to G$, $f(x,y)=xy$" significa que la función es continua relativa a la topología de la $G$ y la inducida por el producto de la topología de $G\times G$.
Es cierto que cuando se tiene una función continua $g\colon X\times Y\to Z$ donde $X$ $Y$ son espacios topológicos y la topología en $X\times Y$ es el producto de la topología, a continuación, para cada uno de los fijos $x\in X$ la inducida por el mapa de $g_x\colon Y\to Z$$g_x(y) = g(x,y)$, y para cada uno de ellos fijo $y\in Y$, la inducida por el mapa de $g_y\colon X\to Z$$g_y(x) = g(x,y)$, son continuas.
Sin embargo, usted no puede obtener la continuidad de la $h(x)=x^{-1}$ aquí de esa manera. Usted necesita el mapa $x$ como una entrada, y produce $x^{-1}$ como una salida. Su sugerencia es tomar la función de $m_{e}(f(x))$ donde $m$ es la multiplicación mapa, $f$ es la inversión mapa, y $e$ es la identidad; con el fin de deducir que este mapa es continuo a partir de la continuidad de $m$, básicamente usted tiene que demostrar que $f$ sí es continua... que es lo que estamos tratando de establecer en primer lugar.
La continuidad de $f$ no inmediatamente después de como lo sugieren.
Para un ejemplo para mostrar que usted no puede deducir la continuidad de $x\longmapsto x^{-1}$ tan sólo a partir de la continuidad de $(x,y)\longmapsto xy$, véase, por ejemplo, esta respuesta por tomasz: tome $G=\mathbb{R}$ bajo asimismo, con el Sorgenfrey topología: una base para el abierto de conjuntos constan de los intervalos de la forma $[a,b)$. A continuación, la multiplicación es continua, pero a la inversa mapa no es, desde el pullback de $[a,b)$$(-b,a]$, que no es abierto en la topología.
Hay incluso un término para un grupo dotado de una topología tales que la multiplicación es continuo (pero no es necesario inversión): un grupo de paratopological.
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