La deformación de la teoría de representaciones de un grupo algebraico

Question

Para algebraica de grupo G y una representación de V, creo que es un resultado estándar (pero no tengo una referencia) que

• la obstrucción a la deformación de V como una representación de G es un elemento de H²(G,V⊗V^*)
• si la obstrucción es cero, clases de isomorfismo de las deformaciones están parametrizados por H¹(G,V⊗V^*)
• automorfismos de una determinada deformación (deformación de V; es decir, la restricción de la identidad del modulo de su plaza de cero ideal) son parámetros H⁰(G,V⊗V^*)

donde el Hⁱ consulte el grupo estándar cohomology (derivados de functors de invariantes). El análogo de la declaración, donde el algebraicas grupo G se sustituye por una Mentira álgebra g y grupo cohomology es reemplazada por la Mentira álgebra cohomology, es cierto, pero la única prueba de que sé que es un gran cálculo. Empecé a correr en el cálculo para el caso de una expresión algebraica de grupo, y parece que funciona, pero es un lío. Seguramente hay una larga secuencia exacta, o algunos de álgebra homológica de la inteligencia, que demuestra este resultado limpiamente. ¿Alguien sabe cómo hacerlo, o tener una referencia para estos resultados? Esto se siente como una aplicación de la cotangente complejo ninjitsu, pero supongo que es cierto acerca de todos los problemas de deformación.

Mientras estoy en ello, también me gustaría probar que la obstrucción, isoclass, y automorphism espacios de deformaciones de G como un grupo son H³(G,Ad), H²(G,Ad), y H¹(G,Ad), respectivamente. De nuevo, puedo demostrar la Mentira de álgebra análogos de estos resultados por parte de un unenlightening de cálculo.

Antecedentes: ¿Qué es una deformación? Por qué no me importa?

Me puede explicar exactamente lo que quiero decir por "deformación" y por qué me preocupo por ellos. Lo último es lo primero, ¿por qué me importa? La idea es estudiar el espacio de moduli de representaciones, que en esencia significa la comprensión de cómo las representaciones de un grupo se comportan en las familias. Es decir, dada una representación V de G, lo posible representaciones pueden aparecer "cercanos" en una familia de representaciones parametrizada por, digamos, una curva? La adecuada formalización de los "cercanos" para considerar a las familias sobre un anillo local. Si usted está pensando en una representación en forma de una matriz para cada elemento del grupo, usted debe imaginar que quiero reemplazar cada matriz de entrada (que es un número) por una potencia de la serie cuyo término constante es la entrada original, de tal manera que las matrices todavía redactar correctamente. Es útil para buscar "aún más a nivel local", por considerar a las familias más completa locales anillos (piensa: ahora me acabo de tomar el poder formal de la serie, ignorando la convergencia). Este es un límite de familias a través de Artin anillos (piensa: trunca de alimentación de la serie, donde lo puse xⁿ=0 por lo suficientemente grande como n).

Así que aquí está lo que quiero decir con precisión. Supongamos que a y a' son Artin anillos, donde a es Un cuadrado de cero prórroga de Un (es decir, se nos da un surjection f:A'→A tal que I:=ker(f) es un cuadrado de cero ideal en Un'). Una representación de G sobre a es un módulo V a través de Una junto con una acción de G. Una deformación de V a a' es un módulo V' sobre Un' con una acción de G, de modo que cuando puedo reducir V' modulo I (tensor con Un más de Un'), puedo obtener V (con la acción que tenía antes). Un automorphism de una deformación V "de V como una deformación es un automorphism V→V', cuya reducción modulo I es el mapa de identidad en V. La "obstrucción a la deformación" V es algo en algún lugar que es cero si y sólo si existe deformación.

Debo añadir que la obstrucción, isoclass, y automorphism espacios dependerá, naturalmente, el ideal I. en realidad deben ser cohomology grupos con los coeficientes de V⊗V^*⊗yo, pero creo que es normal para omitir el yo en una conversación casual.

Answer 1

Las declaraciones sobre el grupo y la Mentira de álgebra en la pregunta son casos especiales de una forma más general de la realidad.

Es decir, si $A$ es un álgebra asociativa y $V$ un $A$-módulo, a continuación, obstrucciones a las deformaciones de $V$ yacen en el Hochschild cohomology grupo $HH^2(A,{\rm Final}(V))$, la libertad de deformación en $HH^1(A,{\rm Final}(V))$, y infinitesimal de automorfismos en $HH^0(A,{\rm Final}(V))$. Esto es bastante fácil de comprobar mediante el bar del complejo.

Ahora, la declaración de las álgebras de Lie es el caso especial de $A=U({\mathfrak g})$, recordando que para cualquier $U({\mathfrak g})$-bimodule $M$,
$$ HH^\ast (U({\mathfrak g}),M)=H^\ast({\mathfrak g},M_{ad}). $$

Del mismo modo, para afín algebraica de los grupos, es el caso especial de $A=O(G)^\ast$, donde $O(G)$ es la coalgebra de funciones regulares, recordando que para cualquier (algebraica) $G$-bimodule $M$, $$ HH^\ast(O(G)^\ast,M)=H^\ast(G,M_{ad}). $$

Answer 2

Una representación de G en un espacio vectorial V es un descenso de referencia para V, visto como un vector paquete de más de un punto, BG. Es decir, lineal representaciones de G son "el mismo" que el vector de paquetes en BG. Así que la pregunta es equivalente a la análoga pregunta acerca de las deformaciones de vector de paquetes en BG. Igualmente podría preguntar acerca de las deformaciones de vector de paquetes en cualquier espacio X.

Dado un vector paquete de V en X, considerar la categoría de primer orden de las deformaciones de V. Un objeto es un vector paquete de más de X", donde X' es un infinitesimal engrosamiento (en el ejemplo, uno puede tomar X = BG x E, donde E es un local de Artin anillo y X' = BG x E' donde E' es un cuadrado de cero de extensión, cuyo ideal es isomorfo como un módulo para el residuo de campo). Una de morfismos es una de morfismos de vector haces en X' que induce la identidad de morfismos en V sobre X.

Si X es permitido variar, esta categoría varía contravariantly con X. Vector de paquetes de satisfacer fppf descenso, por lo que esta forma un fppf pila de X.

Esta pila es muy especial: a nivel local tiene una sección (fppf localmente una deformación existe) y cualquiera de las dos secciones son localmente isomorfo. Por lo tanto, es un gerbe. Por otra parte, el isomorfismo grupo de entre cualquiera de las dos deformaciones de V es canónicamente un torsor en el grupo Final(V) (esto es divertido comprobar).

Gerbes bandas por un grupo abelian H se clasifican por H^2(X,H) (esto también es divertido comprobar); la clase es cero si y sólo si la gerbe tiene una sección. Si la gerbe tiene una sección, el isomorfismo de las clases de las secciones forman un torsor en H^1(X,H). El isomorphisms entre dos secciones forman un torsor en H^0(X,H). (Esto implica que el automorphism grupo de cualquier sección es H^0(X,H).)

En nuestro caso, H = End(V), de modo que se obtenga una clase en H^2(X,End(V)) y si esta clase es cero, gerbe tiene una sección, es decir, una deformación que existe. En este caso, todas las deformaciones formar un torsor en H^1(X,End(V)), y el automorphism grupo de deformación es H^0(X,End(V)).

Todos los cohomology de los grupos anteriores son gavilla cohomology en el fppf topología. Si usted está utilizando una definición de grupo cohomology, todavía hay algo para comprobar.

Answer 3

Aquí no es una respuesta completa, pero creo que una gran truco. Las deformaciones de la V más de el doble de los números siempre están en bijection con Ext¹(V,V) en cualquier abelian categoría. El truco es que si usted tiene una deformación en' V', que tienen una larga secuencia exacta:

Hom(V,V) -> Hom(V,V) -> Hom(V,V) -> Ext¹(V,V) -> Ext¹(V',V) -> Ext¹(V,V) -> Ext²(V,V)

Se puede ver que la extensión divide si y sólo si la imagen de la identidad en el mapa de límites es trivial (utilizando Baer suma, se puede extender este truco para mostrar que dos extensiones son isomorfos si y sólo si la imagen de la identidad es el mismo).

Creo que la obstrucción en Ext²(V,V) que tenía en mente es la imagen de esa clase en el siguiente mapa de los límites, por un argumento similar.

Answer 4

Voy a ofrecer un esbozo de un argumento, y tal vez alguien que sepa lo que una pila se puede hacer pasar por real. Probablemente se trata de un no-stacky deformación de la teoría de la conmutativa álgebras de Hopf, pero no sé lo que parece.

Deformación de G como un grupo debe ser el mismo como deformación de BG como un viejo y simple objeto geométrico. Tirando hacia atrás de un punto en el BG a lo largo de una cubierta por un punto es muy aproximadamente, teniendo una base de bucle espacio, y la deformada de bucle espacio viene con la deformada de la composición de la ley. Del mismo modo, la deformación de una representación de G debe ser el mismo como deformación de una gavilla en BG.

Voy a asumir que G es suave. Entonces la tangente complejo de BG asignación a un punto es sólo la gavilla de Anuncios, concentrada en el grado 1. Si tenemos la audacia de asumir que la deformación de la teoría de/en pilas funciona igual que las deformaciones de/en los esquemas, pero tal vez con algún grado turnos, debemos obtener las respuestas que usted desea. Para deformar G en particular, hay un canónica de la clase de H^2(BG, Ad[-1]) que clasifica a las obstrucciones, y si que se desvanece, H^1(BG, Ad[-1]) clasifica las deformaciones y H^0(BG, Ad[-1]) clasifica a los automorfismos de una deformación. Cuando la deformación de la gavilla V, por lo general uno ve la gavilla End(V), escrito como coeficientes.

Olsson escribió un libro sobre las deformaciones de representable morfismos de pilas, y mientras que los morfismos BG -> S no es representable, uno se puede beneficiar de pedir el autor para obtener detalles adicionales si uno fuera, digamos, trabajando en el mismo edificio que él.

Answer 5

Sobre lo de Anton dijo al final sobre las deformaciones de un grupo. Deje de $m_0$ ser el estándar de la multiplicación. A continuación, quiero considerar una deformación de la forma $m:(G \times \epsilon \mathfrak{g}) \times (G \times \epsilon \mathfrak{g}) \G \times \epsilon \mathfrak{g}$ donde $m(g_1, g_2) = m_{0}(g_1,g_2) + \epsilon m_1 (g_1,g_2)$. Cuando usted escribe la asociatividad condición $m\circ (m \times 1) = m \circ (1 \times m)$ parece que usted encuentra que $(g_1,g_2) \mapsto (m_{1}(g_{1},g_{2}))(g_{1}g_{2})^{-1}$ es un grupo cohomology cocycle para G actuando en $\mathfrak{g}$ por el medico adjunto de la representación. Ahora uno tiene que identificar $H^{2}(G,Ad)$ con $H^{2}(BG,Ad)$ (teniendo el cuidado de la topología de alguna manera).