Prueba de la fórmula del producto para la función seno

Question

Estoy buscando una manera simple de probar $$\frac{\sin \pi z}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$$ using mainly on the fact that the entire function has simple zeros at $n=\pm 1, \2 pm,\cdots$.

Answer 1

Sé que una prueba de que no implica infinito producto.

Pensar acerca de la ecuación

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{2z}{n^2\pi^2 - z^2} = -\cot z + \frac{1}{z}$,

e integrar ambos lados. Para una prueba de esta ecuación, considere la función $f(z) = \frac{\cot z}{z(z - 1)}$, a continuación, utilizar el cálculo de los residuos.