la composición de la alimentación de la serie

Question

¿Alguien sabe cómo derivar una fórmula para los coeficientes.

Eso si, $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_nx^n$ $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty } b_nx^n$

supongamos que el compostion es una analítica de la función, $h(x)=f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty } c_nx^n$

Hay una expresión que podemos encontrar para los coeficientes $c_n$ en términos de$a_n$$b_n$? Puede que alguien me muestre cómo sus derivados. Sé que podría sustituir a $g$ a $f$ y recoger los poderes de $x$. Pero yo creo que una fórmula general n puede ser escrito.

Answer 1

Hay (algo casi imposible) cerrado "formas" en términos de la Campana de polinomios y otros estrechamente relacionados con objetos combinatorios. Sin embargo, si usted está realmente interesado en forma eficiente el cálculo de las composiciones de potencia de la serie, a continuación, hay mejores algoritmos, que se remonta al menos a la labor de Brent y Kung, a partir de la cual se pueden encontrar enlaces a los trabajos recientes en esta área.

Answer 2

Hay una forma cerrada, pero es un poco complicado: http://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_di_Bruno%27s_formula

Answer 3

El papel Composita y sus propiedades V. V. Kruchinin y D. V. Kruchinin presenta técnicas para obtener los coeficientes de las compuestas de poder formal de la serie.

Comienzan con un dado de generación de función $F(x)=\sum_{n\geq 1}f(n)x^n$, considere la posibilidad de otras varias funciones $G(x)=\sum_{n\geq 0}g(n)x^n$ y analizar la composición de $G$$F$. \begin{align*} G(F(x))&=\sum_{k\geq 0}g(k)\left[F(x)\right]^k\\ &=\sum_{k\geq 0}g(k)\sum_{n\geq k}F^\triangle(n,k)x^n \end{align*} con el llamado Composita$F^\triangle(n,k)$ \begin{align*} F^\triangle(n,k)=\sum_{{\lambda_1+\cdots\lambda_k=n}\atop{ \lambda_1,\ldots,\lambda_k\geq 1}}f(\lambda_1)\cdots f(\lambda_k) \end{align*}

Nota el término constante de $F(x)$ es cero, por lo que la composición de funciones de generación es válido.

Otros papeles relacionados V. V. Kruchinin son

• Composición del común de las funciones de generación

• Derivación de la Campana de Polinomios de la Segunda Clase

Answer 4

Así, hoy en día yo estaba buscando en el exacto la misma cosa. Lo recogí de la anterior de internet referencias parecía implicar nada por que cuando $g(x)$ tiene un término constante. Este artículo indica que este es un problema abierto en la teoría y establece condiciones para cuando la composición se define al $g(x)$ tiene un término constante. Sin embargo, no ofrece ninguna fórmula para el coeficiente de la estructura de la composición.

¿Alguien tiene experiencia o ideas sobre cómo adaptar la Faà di Bruno resultado

$$f(g(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} a_k B_{n,k}(b_1,\dots,b_{n-k+1}) \over n!} x^n$$

donde $B_{n,k}$ son de la Campana de polinomios, para dar cabida a este término constante?