¿Es posible estudiar las propiedades de las secuencias estudiando la familia de polinomios generados con los elementos como coeficientes?

Question

Supongamos que existe una secuencia de números enteros $\{a_0,a_1...a_n...\}$ y una familia de polinomios se define como sigue:

$p_0 = a_0$

$p_1 = a_0x+a_1$

$p_2 = a_0x^2+a_1x+a_2$

$p_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n$

...

Donde los coeficientes son los elementos de la secuencia. Las características de $p_n$ son interesantes porque $p_n(0)=a_n$ y $p_n(1)=\sum_{n}a_n$

Por ejemplo, aplicado a la Möebius función:

$p_0 = 1$

$p_1 = x-1$

$p_2 = x^2-x-1$

$p_3 = x^3-x^2-x$

$p_4 = x^4-x^3-x^2-1$

...

$p_n(0)=\mu(n)$ ( $n^{th}$ elemento del Möbius secuencia) y $p_n(1)=\sum_{n}\mu(n)$ es la suma parcial hasta $n$ de la función de Möbius, es decir, es la La función de Merten .

Este es el gráfico de la primera $100$ polinomios, $p_0$ a $p_{99}$

Y esto es un zoom del segmento [0,1] para que sea posible ver las ramificaciones de cada polinomio desde la posición del último $\mu(n)$ a la posición del último $\sum_n\mu(n)$ . La forma de los caminos es bastante curiosa porque es una representación de la diagrama sólo suryente de $\mu(n) \to \sum_n \mu(n)$ para cada $n$ en $[0,100]$ .

Me gustaría hacer las siguientes preguntas:

1. ¿Es posible saber algo sobre las propiedades (por ejemplo, la convergencia de la suma acumulada) de una secuencia como la $lim_{n \to \infty}p_n(1)=lim_{n \to \infty}\sum_{n}a_n$ mediante el cálculo de la forma del polinomio genérico generado con los elementos de la secuencia como coeficientes por ejemplo, encontrar la forma del polinomio "límite" $p_n$ cuando $n \to \infty$ ?

2. Intenté encontrar algunos artículos sobre este tipo de enfoque, para entender si conduce a algo o sólo es visualmente interesante. ¿Hay algún artículo sobre la generación de polinomios utilizando los elementos de las secuencias como coeficientes? Gracias.

Answer 1

En realidad, esto sólo se refiere a la pregunta 2, ya que la construcción no es exactamente lo que usted describe -en particular, la indexación se invierte-, pero puede interesarle funciones generadoras https://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function .

Dada una secuencia $\mathcal{A}=(a_i)_{i\in\mathbb{N}}$ podemos asociarle la serie de potencias formal $$a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...$$ (este es el función generadora ordinaria ). Hay muchos otros tipos de función generadora que podemos asociar a $\mathcal{A}$ - Por ejemplo, el exponencial función generadora $$\sum_{i=0}^\infty {a_ix^i\over i!}.$$

A menudo, esta serie de potencias formal será realmente igual (en alguna vecindad abierta) a alguna función $f$ y estudiando $f$ resulta que sí podemos obtener información sobre $\mathcal{A}$ . Voy a parar aquí, porque

• hay una cantidad realmente gigantesca de investigación sobre la generación de funciones, y

• No sé nada de eso,

pero espero que lo encuentres valioso (y ojalá que alguien que realmente sepa cosas sobre la generación de funciones se pase por aquí para dar una mejor respuesta).