contando probabilidad con múltiples casos

Question

Hay cuatro colores diferentes de pintura se puede utilizar para cuatro casas diferentes. Si un color se puede utilizar hasta tres veces, cuántas posibilidades hay?

Me acerqué a el problema dividiéndolo en casos de:

1) cada color utilizado una vez

2) un color usado dos veces

3) dos colores que se utilizan dos veces

4) un color que se usa tres veces

pero no sé cómo pasar de aquí o si im derecho

Answer 1

De cuántas formas puede que el color de las cuatro casas diferentes sin ningún tipo de restricciones?

Llamar a esto $N$.

Una vez que haya averiguado, considere la posibilidad de su limitación expresado como:

No está permitido utilizar el mismo color para todas las cuatro casas.

Tenga en cuenta que sólo hay cuatro casos en los que la restricción se viola; es decir, las cuatro casas de color 1, las cuatro casas de color 2, las cuatro casas de color 3, y las cuatro casas de color 4.

Por lo que el total será de $N - 4$.

Answer 2

Si pudiera pintar cualquier casa con cualquier color sin restricción, no sería $4^4$ colores.

Ahora, tenga en cuenta que usted está buscando en todos los colores excepto para los cuatro colorantes que son todos de un mismo color. Así que usted ha $4^4 - 4$ formas de color de las casas.

Answer 3

Creo que su forma está bien. Pero más fácil sería contar todas las formas de la pintura de la $4$ casas (sin restricciones), y luego restar fuera de los casos usted no desea.

Answer 4

1) cada color utilizado una vez

• Hay $4!=24$ posibilidades.

2) un color usar dos veces

• El color que se usa dos veces: $4$ posibilidades
• Que casas con este color: ${4\choose 2}=6$
• Las otras dos casas: $3\times2=6$
• Todos en todos, $6\times6\times4=144$ posibilidades.

3) dos colores que se utilizan dos veces

• Los colores que se utilizan: $4\times3=12$
• Primer par de casas: ${4\choose2}=6$
• En definitiva: $6\times6$ e no $12\times6$, ya que cada caso es contada dos veces (¿por qué?) Por lo tanto $36$ posibilidades.

Para mostrar por qué los casos se cuentan dos veces, si las casas están etiquetados como a,B,C,D, y elegir AB para el primer par con un color y un CD para el otro par. A continuación, elegir los colores, dicen AB:azul, CD:negro. Pero esta posibilidad va a suceder también cuando usted elige el par de CD en primer lugar, con el color negro, y luego el par AB, con el color azul. Esto ocurre para todas las opciones.

4) un color que se usa tres veces

• El color que se utiliza tres veces: $4$
• Que casas con este color: ${4\choose3}=4$
• El Color de la última casa: $3$
• En definitiva: $4\times4\times3=48$

5) un color para todas las casas (este es el caso restante)

• Hay $4$ de posibilidades (elija sólo el color).

Se puede comprobar que el total es de $4^4=256$. Los "casos favorables" son los cuatro primeros, que representan el $252$ posibilidades, pero como otros han notado, es más fácil calcular sólo el restante y restar: $252=256-4$.

Answer 5

Elija los colores, a continuación, elija las casas de cada uno la elección del color.

1) cada color utilizado una vez

$$\binom{4}{4}\cdot\binom{4}{1}\binom{3}{1}\binom{2}{1}$$

2) un color usado dos veces

(además de los dos colores utilizados una vez)

$$\binom{4}{1}\binom{3}{2}\cdot\binom{4}{2}\binom{2}{1}$$

3) dos colores que se utilizan dos veces

$$\binom{4}{2}\cdot\binom{4}{2}$$

4) un color que se usa tres veces

(y un color usado una vez)

$$\binom{4}{1}\binom{3}{1}\cdot\binom{4}{3}$$

pero no sé cómo pasar de aquí o si im derecho

Es un enfoque correcto, pero a la larga uno. Es más fácil trabajar con los complementos. De cuántas maneras puedes pintar las casas con cuatro colores y no utilizar un color para todas las casas.

$$4^4-4$$