He leído en línea que
aunque el 3x3x3 es un gran ejemplo de un grupo de matemáticos, cubos grandes no son grupos.
¿Cómo puede ser eso cierto? Es evidente que hay una identidad y es cerrado, por lo que debe significar que algunos se mueve a no es invertible. Pero esto parece poco probable a mí.
El cubo de 4x4x4 y superior no son grupos en el mismo sentido que el cubo de 3x3x3 es un grupo.
El conjunto de accesible posiciones de un cubo de 3x3x3, vistos como funciones de 54 elemento de ajuste (que representan las ubicaciones de las calcomanías) 6-elemento de ajuste (los colores de las pegatinas) forman un grupo. La operación aquí está dado por la siguiente: Para x, y las posiciones de un cubo de 3x3x3, deje de $a_1a_2 \cdots a_n$ ser una secuencia de movimientos que, a partir de la identidad, coloca el cubo en la posición x, y $b_1b_2 \cdots b_m$ la misma y. El producto xy es el estado el cubo está en después de la secuencia de $a_1 \cdots a_n b_1 \cdots b_m$.
El hecho de que esta operación, de hecho, forma un grupo no es tan trivial como parece al principio. El problema no es con la asociatividad, la identidad, o invertibility. En su lugar, es bien definedness. ¿Cómo sabes que la elección de las secuencias de $a_1 \cdots a_n$ y $b_1 \cdots b_m$ no hacer una diferencia?
Para el cubo de 3x3x3, la forma de resolver esto es ver como un subgrupo del grupo simétrico en el conjunto de todos los 54 pegatinas. Esto no funciona para los cubos grandes, debido a que es posible llegar con los movimientos que se mueven algunos de los cubitos de todo, sin cambiar la forma de las pegatinas. Las pegatinas se pueden mover, sin su aparente colores cambiantes. Para ver por qué esto es imposible para un cubo de 3x3x3, tenga en cuenta que cualquier cubie es exclusivamente especificados por sus pegatinas, por lo que cualquier permutación de 2 pegatinas del mismo color en el cubo grupo debe permutar los cubitos, que entonces no puede ser la identidad.
Pero en el cubo de 4x4x4, esta falla. Todos los 4 de la protagonizó pegatinas aquí, por ejemplo, son indistinguibles, en el sentido de que se podría permutar y que todavía tienen un estado resuelto. Yo no creo que una permutación de sólo estos 4 pegatinas es posible, pero hay muchas permutaciones de distinguir cubitos que se puede hacer. De acuerdo a Dustan Levenstein en los comentarios, cualquier permutación de estos 4 pegatinas (o más en general, de cualquier centro de pegatinas) es posible.
La manera de demostrar formalmente que el cubo de 4x4x4 no es un grupo es encontrar una secuencia de movimientos que actúa como la identidad en una configuración, pero no en otra configuración. Esto es bastante fácil de hacer, pero no recuerdo la solución precisa, así que voy a omitir. (Si alguien realmente quiere un ejemplo, el comentario y me puede sacar de uno.)
Es cierto que si hemos marcado todas las pegatinas de alguna manera, la formación de un así llamado "supercube", y requiere que las etiquetas también coinciden, entonces podríamos tener un grupo. Este grupo sería construido en la misma manera como el 3x3x3 grupo, como un subgrupo del grupo simétrico en el 96 pegatinas de el cubo de 4x4x4.
Este grupo actúa sobre el conjunto de las posiciones del cubo de 4x4x4 transitivamente, pero no libremente. Esto, en el grupo teórico del lenguaje, es por eso que el cubo de 4x4x4 posiciones no forman un grupo. Todavía podemos estudiar el grupo más grande, pero tenemos que tener en cuenta que la acción no es tan bonito como en el 3x3x3 caso.
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