Existe un método directo para evaluar esta integral: $\int_{0}^{2\pi}\ln^2(2\sin(\frac{x}{2}))dx$?

Question

Me topé con esta integral al intentar evaluar $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\theta)}{n}$.

Empecé con la serie de $-\ln(1-z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}$, sustituye z con $e^{i\theta}$ y se extrae la parte real para obtener $-\ln(2\sin(\frac{\theta}{2}))= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\theta)}{n}$.

Usando la identidad de Parseval se sigue que $\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\ln^2(2\sin(\frac{\theta}{2}))d\theta=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

Esto me da el resultado: $\int_{0}^{2\pi}\ln^2(2\sin(\frac{\theta}{2}))d\theta=\frac{\pi^3}{6}$.

Ahora bien, esto es la mayoría de la rotonda de la manera que he evaluado de forma integral, y he intentado encontrar una forma más directa de hacerlo sin ningún éxito. ¿Alguien sabe de otros métodos para la evaluación de esta?

Answer 1

Es bien sabido que:

$$ \int_{0}^{\pi}(2\sin\theta)^{\alpha}\,d\theta = 2^\alpha\, \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)}$$ por lo tanto, diferenciando ambos lados con respecto a $\alpha$ obtenemos: $$ \int_{0}^{\pi}(2\sin\theta)^{\alpha}\log(2\sin\theta)\,d\theta= 2^\alpha\, \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\frac{\psi\left(\frac{\alpha+1}{2}\right)-\psi\left(\frac{\alpha+2}{2}\right)+\log 4}{2}$$ y sólo tenemos que diferenciar ambos lados con respecto a $\alpha$ nuevo, a continuación, evaluar en $\alpha=0$ aprovechando: $$\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\Gamma(1)}=\pi, \qquad \psi\left(\frac{1}{2}\right)-\psi(1)=-\log 4,\qquad \psi'\left(\frac{1}{2}\right)-\psi'(1)=2\,\zeta(2).$$

Answer 2

Con un pequeño cambio de variables, esta respuesta muestra que $$ \log(\sin(x))=-\log(2)-\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2kx)}k\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} &\int_0^{2\pi}\log\left(2\sin\left(\frac x2\right)\right)^2\,\mathrm{d}x\\ &=2\int_0^\pi\log(2\sin(x))^2\,\mathrm{d}x\tag{2}\\ &=\color{#C00000}{2\log(2)^2\int_0^\pi\,\mathrm{d}x}\color{#00A000}{+4\log(2)\int_0^\pi\log(\sin(x))\,\mathrm{d}x}\color{#0000F0}{+2\int_0^\pi\log(\sin(x))^2\,\mathrm{d}x}\tag{3}\\ &=\color{#C00000}{2\pi\log(2)^2}\color{#00A000}{-4\pi\log(2)^2}\color{#0000F0}{+2\left(\pi\log(2)^2+\frac\pi2\zeta(2)\right)}\tag{4}\\ &=\frac{\pi^3}6\tag{5} \end{align} $$ Explicación:
$(2)$: sustituto $x\mapsto2x$
$(3)$: expandir $[\log(2)+\log(\sin(x))]^2=\log(2)^2+2\log(2)\log(\sin(x))+\log(\sin(x))^2$
$(4)$: aplicar $(1)$ $\int_0^\pi\cos(2kx)\,\mathrm{d}x=0$ $\int_0^\pi\cos(2jx)\cos(2kx)\,\mathrm{d}x=\frac\pi2[j=k]$
$(5)$: la aritmética y la $\zeta(2)=\frac{\pi^2}6$

Answer 3

Está usted familiarizado con un hueso de perro de contorno en el plano complejo? Usted toma la rama de registro que es analítica en $\mathbb{C}\text{\ }[-\infty,2]$ y la rama en la que es analítica en $\mathbb{C}\text{\ }([0,+\infty]$ y combinarlos para una función es analítica en $\mathbb{C}\text{\ }[0,2]$. El integrar alrededor de la línea de $[0,2]$ con dos epsilon círculo alrededor de las singularidades en $0,2$.