¿Pueden existir algunos objetos matemáticos sin la teoría de conjuntos?

Question

Soy principiante en matemáticas de grado, y estoy estudiando asignaturas como análisis real y álgebra abstracta. Parece que la mayoría de los objetos matemáticos giran en torno a la teoría de conjuntos. Un grupo es un conjunto dotado de propiedades especiales, al igual que un anillo, un campo y un espacio vectorial. $ \mathsf{A} \times \mathsf{B} $ y una relación es un subconjunto de $ \mathsf{A} \times \mathsf{A} $ etc.

Pero sin la teoría de conjuntos, ¿estos objetos estarán mal definidos? He pasado un mes aprendiendo sobre la construcción de $ \mathbb{R} $ así como probar cosas como $ \ a + 0 =a \ $ estudiando los cortes Dedekind. Incluso un corte requiere la noción de conjunto. Me he dado cuenta de que la intuición que tenía desde niño sobre lo que son los números reales es chapucera; creo que sé cómo funcionan y lo que son, pero si me presionas para que explique lo que son con rigor, soy incapaz de hacerlo. Por tanto, si los objetos matemáticos no pueden explicarse en términos de conjuntos, en el mejor de los casos son cosas confusas sin una definición clara.

Pero, ¿cómo llegaron los matemáticos a darse cuenta de que estudiando tipos especiales de conjuntos con propiedades especiales surgirían cosas maravillosas? ¿Cómo evitaron también estudiar conjuntos arbitrarios y aburridos?

Por último, he leído algunos relatos sobre grupos que son objetos altamente geométricos, con muchas "criaturas" exquisitas que esperan ser estudiadas, pero ¿qué tiene de geométrico un conjunto con propiedades especiales? Del mismo modo, llegué al análisis real pensando que por fin podría demostrar por qué $ \ a+0 = a \ $ . De hecho, puedo, pero no sin un coste; me he sentido bastante cohibido ante cosas obvias que antes daba por sentadas si no tengo una definición de ellas en términos de conjuntos.

Editar : Mi pregunta difiere del enlace de Zev porque quiero saber si los objetos matemáticos dependen de conjuntos (en otras palabras, si existen fuera de la teoría de conjuntos), no si hay objetos matemáticos que no puedan ser descritos por la teoría de conjuntos.

Answer 1

En última instancia, su pregunta, expresada en su Editar es filosófico, no matemático. Si usted es un formalista entonces no, los objetos de consideración no tienen existencia independiente y, visualicemos lo que visualicemos, sólo existen realmente los sistemas formales, las marcas sobre el papel y las pantallas. Si Platonista Sin embargo, los objetos matemáticos existen realmente en el mismo sentido que las mesas y las sillas, y los sistemas de axiomas sólo caracterizan clases de tales entidades abstractas.

Es una cuestión de qué es primero, si la teoría o los (supuestos) objetos: ¿los axiomas de, por ejemplo, la teoría de grupos "traen los grupos a la existencia" (existencia al menos en las mentes de los matemáticos)? o ¿existen y existieron independientemente, y los axiomas de grupo simplemente capturan la grupalidad? ¿Se crearon o descubrieron los grupos?

No hay teorema que responda a estas preguntas, y no hay una respuesta "correcta"; es más una cuestión de disposición y creencia.

Answer 2

Según Wikipedia, Alfred Tarski ideó un conjunto de axiomas para un fragmento sustancial de la Geometría Euclidiana. Los axiomas requieren sin teoría de conjuntos . Los axiomas son de primer orden, son precisos y se han explorado en un sistema automatizado. teorema probando contexto.

Así que sí, los objetos matemáticos pueden existir sin la teoría de conjuntos.

Una función específica o una relación específica podría ser simplemente algo que satisface algunos axiomas.

Por ejemplo, si tenemos los axiomas

1. C(x, C(y, x))

y

2. C(C(x, C(y, z)), C(C(x, y), C(x, z)))

Una función específica C puede ser cualquier cosa que haga ciertas las dos fórmulas anteriores. Lo mismo puede decirse de una relación específica.