encontrar el límite: $\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x \cos x - (x+1)}{\tan x -\sin x}$

Question

encontrar

$\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x \cos x - (x+1)}{\tan x -\sin x}$

Intenté usar la regla de l'hopital, pero se complica muy rápido

edición: me he equivocado en el numerador (¡lo siento!) su $(x+1)$

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\dagger}}% \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\half}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ \begin{align} &\lim_{x \to 0}{\expo{x}\cos\pars{x} - \pars{1 + x} \over \tan\pars{x} - \sin{x}} = \lim_{x \to 0}{x \over \tan\pars{x}}\,\bracks{x/2 \over \sin\pars{x/2}}^{2}{\expo{x} \cos\pars{x} - 1 - x \over x^{3}/2} \\[3mm]&= 2\lim_{x \to 0}{\expo{x}\cos\pars{x} - x - 1 \over x^{3}} = 2\lim_{x \to 0}{\expo{x}\cos\pars{x} - \expo{x}\sin\pars{x} - 1 \over 3x^{2}} \\[3mm]&= {2 \over 3} \lim_{x \to 0}{\expo{x}\cos\pars{x} - \expo{x}\sin\pars{x} - \expo{x}\sin\pars{x} - \expo{x}\cos\pars{x} \over 2x} = -\,{2 \over 3} \lim_{x \to 0}{\expo{x}\sin\pars{x} \over x} \\[3mm]&= -\,{2 \over 3} \lim_{x \to 0}{\expo{x}\sin\pars{x} + \expo{x}\cos\pars{x} \over 1} = \color{#0000ff}{\large -\,{2 \over 3}} \end{align}

Answer 2

Usa L'Hopital 3 veces y tendrás la respuesta. Las expresiones sólo parecen largas a primera vista, pero un montón de cosas se anulan:

$$\lim_{{x} \to {0}} \frac{e^x\cos x - x - 1}{tanx - sinx} L(\frac00)= \lim_{{x} \to {0}} \frac{e^x\cos x - e^x\sin x - 1}{\sec^2 x - \cos x} L(\frac00)= \lim_{{x} \to {0}} \frac{-2e^x\ sinx}{\sin x + 2\tan x\sec^2 x} L(\frac00)= \lim_{{x} \to {0}} \frac{-2e^x(\ sinx + \cos x )}{\sec^4 x(4\sin^2 x + \cos^5 x + 2)} = -\frac23$$

Answer 3

El denominador va a cero, el numerador va a 2, por lo que el límite es fácil de calcular.

EDITAR Con el problema cambiado, la forma más fácil es utilizar series de potencias. El denominador es asintótico a $x^3/2,$ el numerador a $-x^3/3,$ por lo que el límite debería ser $-3/2.$ Pero haz el cálculo tú mismo.

Answer 4

$$ \begin{aligned} \lim _{x\to 0}\left(\frac{e^x\cos(x)-\left(x+1\right)}{\tan(x)\:-\sin(x)}\right) & = \lim _{x\to 0}\left(\frac{\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)\right)\left(1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right)-\left(x+1\right)}{\left(x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)\right)\:-\left(x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)\right)}\right) \\& = \lim _{x\to 0}\left(\frac{\frac{-x^5-3x^4-4x^3}{12}+o\left(x^2\right)}{\frac{x^3}{2}+o\left(x^3\right)}\right) \\& = \color{red}{-\frac{2}{3}} \end{aligned} $$

Resuelto con la expansión de Taylor

Answer 5

Tenga en cuenta que tenemos $$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x} {x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x} {x} \cdot \frac{1-\cos x} {x^{2}}\cdot\frac{1}{\cos x} =\frac{1}{2}$$ y por tanto el límite deseado viene dado por \begin{align} L&=2\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}\cos x - 1-x}{x^{3}}\notag\\ &=2\lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos x - 1}{x^{2}}\cdot\frac{e^{x}-1}{x}+\frac{e^{x}+\cos x-x- 2 }{x^{3}}\right)\notag\\ &=2\left(-\frac{1}{2}+\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\sin x-1}{3x^{2}}\right)\text{ (via L'Hospital's Rule)} \notag\\ &=-1+\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\cos x} {2x}\text{ (via L'Hospital's Rule)} \notag\\ &=-1+\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{x}-1}{x}+x\cdot\frac{1-\cos x} {x^{2}}\right)\notag\\ &=-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\notag \end{align} Nótese que antes de aplicar la Regla de L'Hospital es conveniente realizar una manipulación algebraica para que el proceso de diferenciar el numerador y el denominador sea fácil y conduzca a expresiones más sencillas.