Triple categoría de equivalencia: curvas algebraicas, las superficies de Riemann y los campos de la trascendencia de grado 1

Question

De acuerdo a este artículo,

La categoría de curvas sobre los números complejos es equivalente otros dos categorías: las superficies de Riemann y los campos de la trascendencia grado 1 $\mathbb{C}$.

Pero no puedo encontrar los detalles de esta equivalencia:

1. Es correcta sólo para curvas algebraicas proyectivas y compacto de las superficies de Riemann?
2. Es la categoría de curvas considerado hasta birational equivalencia?
3. Es este campo de la igualdad de ambos a campo de meromorpic funciones de superficie y coordinar el campo de la curva?

Y la pregunta más general, hay una línea de material sobre este tema que están destinados para los principiantes? Fue mencionado como algo ampliamente conocido en todos los artículos que he encontrado.

Answer 1

1. Sí, esto es para suavizar las curvas algebraicas proyectivas y compacto de las superficies de Riemann. La suavidad es necesario para que la curva es un complejo múltiple de admisión, y ya es proyectivo, entonces es un pequeño complejo colector de la dimensión 1. Viceversa, una superficie de Riemann puede ser embebido en proyectivos espacio con un muy amplio divisor. A priori, esta inclusión es como un complejo submanifold. Sin embargo, un teorema de Chow nos asegura que un cerrado submanifold de espacio proyectivo es en realidad algebraicas.

2. Usted puede olvidarse de suaves curvas proyectivas y sólo considerar las curvas, ya que en cada birational clase de curvas sólo hay una no-singular de la curva. Esto es porque si $f:C\to C'$ es un racional de morfismos entre los no-singular curvas, entonces es una de morfismos. Esto viene de un resultado general diciendo que si $f:X\to\mathbb{P}^n$ es racional y $X$ es un buen proyectiva variedad, el lugar donde $f$ no está definido es de codimension al menos $2$ (ver Shafarevich por ejemplo).

3. Sí, el campo de meromorphic funciones es igual a la coordenada de campo. Miranda demuestra en su libro, por ejemplo, que si hay es un subcampo de meromorphic funciones que separa puntos y tangentes, entonces es realmente igual a la totalidad de la función de meromorphic campo.

Miranda es un buen libro para empezar con el que habla sobre este tipo de equivalencia. También busque un libro que demuestra Chow del Teorema en submanifolds de espacio proyectivo.