Topología diferencial frente a la geometría diferencial

Question

Acabo de terminar mis estudios de pregrado. Durante los dos últimos semestres me he tomado dos temas ocupan de colectores:

1. Análisis de los colectores, que contiene: definición de colector, el espacio de la tangente (como derivaciones y clases de curvas), campos vectoriales, vector de paquetes, los flujos, la Mentira derivados de la integración en los colectores (teorema de Stokes), formas, Hodge teorema de la descomposición

2. Introducción a la geometría diferencial (para mí debería ser llamado introducción a la Riemann colectores) que contiene: tensor de cálculo introducción, Riemann colector de definición, conexiones, curvaturas, geodésicos, normal coordenadas geodésicas completura teorema, la clasificación a través de curvatura, campos de jacobi, armónica mapas.

Ahora, para mí la geometría diferencial era/es una teoría acerca de los colectores, así que cualquier cosa que tratar con los colectores es la rama de la geometría diferencial. Por otro lado, me estoy preparando para tomar parte en el local de la conferencia denominada: "algebraica y diferencial topología". He leído: I - libros de referencias, II - libros de referencias, III - wikipedia, sin embargo, yo todavía no sabemos realmente si topología diferencial es subteoría de la geometría diferencial o es independiente de la teoría y cómo se encuentra entre la geometría diferencial y topología algebraica. Por ejemplo, yo espero que los estudios sobre Riemmanian colectores son parte de la geometría diferencial, pero le problema de la clasificación de los colectores hasta diffeomorphism ser parte de la topología diferencial o geometría ?

Solicitud: yo estaría muy agradecido por su caracterización de la topología diferencial y geometría diferencial, posiblemente, con ejemplos de problemas, teoremas presentes en ellos.

Answer 1

Primero de todo, el concepto de un "colector" es, ciertamente, no es exclusivo de la geometría diferencial. Los colectores son uno de los principales objetos de estudio en la topología, y también se utilizan ampliamente en el análisis complejo (en forma de superficies de Riemann y complejos colectores) y la geometría algebraica (en forma de variedades).

Dentro de la topología, los colectores pueden ser estudiados únicamente como espacios topológicos, pero también es común considerar la posibilidad de colectores con una tramos lineales o estructura diferenciable. El estudio topológico de tramos lineales de colectores que a veces es llamado por tramos topología lineal, y el estudio topológico de diferenciables colectores a veces se denomina topología diferencial.

No estoy seguro de que me necesariamente describir estos distintos subcampos de la topología, son más como puntos de vista hacia la topología geométrica, y para la mayor parte, uno puede estudiar la misma geométricas preguntas de cada uno de los tres principales puntos de vista. Sin embargo, hay preguntas que sólo tienen sentido desde uno de estos puntos de vista, por ejemplo, la clasificación de los exóticos esferas, y sin duda hay topología de los investigadores que se especializan en cualquiera de los tramos lineales o diferenciable métodos. Topología diferencial puede ser encontrado en la posición 57Rxx en el 2010 de Matemáticas de Clasificación de materias.

La geometría diferencial, por otro lado, es un importante campo de las matemáticas con muchos de los subcampos. Es, principalmente, con estructuras adicionales que uno puede poner en un suave múltiple de admisión, y las propiedades de estas estructuras, así como las nociones tales como la curvatura, propiedades métricas, y las ecuaciones diferenciales en los colectores. Corresponde a la partida 53-XX en el MSC 2010, y el MSC divide la geometría diferencial en cuatro grandes subcampos:

• Clásicos de la geometría diferencial, es decir, el estudio de la geometría de curvas y superficies en $\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^3$, y más generalmente submanifolds de $\mathbb{R}^n$.

• Local de la geometría diferencial, que los estudios de Riemann colectores (y colectores con estructuras similares) desde un punto de vista local.

• Global de la geometría diferencial, que los estudios de Riemann colectores (y colectores con estructuras similares) desde un punto de vista global.

• Simpléctica y de contacto de geometría, que los estudios de colectores que tienen ciertos ricos en estructuras que son significativamente diferentes de una estructura de Riemann.

Como regla general, cualquier cosa que requiera una métrica de Riemann es parte de la geometría diferencial, mientras que todo lo que se puede hacer con una estructura diferenciable es parte de la topología diferencial. Por ejemplo, la clasificación de suave colectores hasta diffeomorphism es parte de la topología diferencial, mientras que todo lo que implica la curvatura sería la parte de la geometría diferencial.