31.331.3331, 33331.333331, 3333331.33333331 son primos

Question

31.331.3331, 33331.333331, 3333331.33333331 son primos. ¿Esta ley puede continuar? ¿Surgirá un número compuesto? Sin usar una computadora cómo juzgar.

Answer 1

333333331 no es primo; es divisible por 17. Esto no requiere una computadora. Euler hacía cálculos como este todo el tiempo.

Es más, en su secuencia 31, 331, 3331, 33331, , cada 15 números es divisible por 31.

Prueba: Una nota en La respuesta del laboratorio Bhattacharjee , la secuencia tiene la forma $$ a_n = \frac {10^{n+1}-7}{3} $$ Ahora, 15 es el orden multiplicador de $10 \pmod {31}$ así que $$ a_{15k+1} = \frac {10^{15k+2}-7}{3} \equiv \frac {10^2-7}{3} \equiv 0 \pmod {31}. $$

Se ha demostrado que para todas las secuencias que parecen $ab$ , $abb$ , $abbb$ , $abbbb$ o $ab$ , $aab$ , $aaab$ , $aaaab$ donde el $a$ y $b$ son dígitos, que periódicamente los números de la secuencia son divisibles por el primer número $ab$ .

Como un ejercicio fácil, muestra que en la secuencia 11, 111, 1111, 11111, , que cada segundo término es divisible por 11.

Answer 2

PISTA:

$$ \underbrace {33 \cdots33 }_{n \text { digits}}1=10 \frac {10^n-1}3+1= \frac {10^{n+1}-7}3$$

Necesitamos encontrar un divisor principal $(p)$ de $ \frac {10^{n+1}-7}3$

Obsérvese que $p>11$

Otra forma será encontrar $p$ de tal manera que $10$ es una raíz primitiva

Answer 3

Una respuesta un poco fuera de tema:

No se puede asumir que las afirmaciones que valen para un número pequeño valdrán para un número grande, especialmente para las secuencias con primacía, porque incluso con la tecnología informática el número primo es uno de los mayores misterios del mundo de las matemáticas. Hay un dicho brillante, no puedo recordarlo exactamente, pero un gran matemático (creo que fue Polya) dijo una vez "Una intuición no es una prueba. Lo que es correcto para su caso.

También otra buena cita es "Nunca habrá un número lo suficientemente pequeño para probar que algo se mantiene generalmente." . Estas dos citas describen su problema, aunque cada número hasta el $1000^{th}$ uno es el primero, eso no prueba que el siguiente no lo sea. Afortunadamente en este problema la ruptura ocurre en el $8^{th}$ y como demostraron otros usuarios, hay una cantidad infinita de números compuestos en la secuencia.

Y por fin creo que podrías estar interesado en la pieza "La ley de los números pequeños" por Richard Guy . Hay muchos ejemplos como el suyo, de hecho este ejemplo está incluido en el libro. Puedes ver que las conjeturas están probadas para algunas secuencias, pero la mayoría de ellas son falsas. Y para algunos ejemplos, el primer ejemplo de fuera de ejemplo ocurre bastante tarde.