Considere los siguientes conjuntos:
$$ A = \{1, 2, \{1,2\}, \emptyset \} $$
$$ B = \emptyset $$
Mi libro dice que $|A| = 4$ y $|B| = 0$ . ¿Por qué es $\emptyset$ considerado un elemento si es un subconjunto, pero no cuando está solo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La cuestión "filosófica" detrás de esto, que al principio confunde a mucha gente, es que en las matemáticas cotidianas casi siempre se trata de conjuntos "mecanografiados", lo que significa que los elementos de los conjuntos que se encuentran son siempre de la misma clase: se pueden tener conjuntos de números naturales como $\{1,2,3\}$ o conjuntos de reales como el intervalo $[0,\pi)$ . Más tarde tal vez encuentre conjuntos de vectores o conjuntos de funciones y así sucesivamente. Aún así, los "papeles" siempre están claros, los conjuntos son "contenedores" para "otros" objetos, aquellos con los que "realmente" estás tratando. [Las cosas se ponen fangosas una vez que empiezas con la topología, sin embargo.]
Pero en la teoría de conjuntos (axiomática) no hay "otros" objetos. Todo lo que encontrarás son conjuntos, lo que implica que todos los conjuntos tienen que ser capaces de desempeñar ambos papeles, el "papel de contenedor" así como el "papel de elemento".
Entonces, tu $A$ arriba es un conjunto que es un contenedor para otras cuatro cosas - y estas otras cuatro cosas son también conjuntos y una de ellas es $\emptyset$ . (En otras palabras, $\emptyset$ aquí juega el "papel" de un elemento de un conjunto.) Pero por la cardinalidad de $A$ lo único que "cuenta" es ¿cuántos objetos que contiene, así que es $4$ . No importa si uno de sus elementos - $\emptyset$ - tiene cardinalidad $0$ o si otro elemento - $\{1,2\}$ - tiene cardinalidad $2$ . Cada elemento de un conjunto tiene el mismo "derecho" a ser contado, no importa si es el pequeño conjunto vacío o un enorme e incontable rebotador como $\mathbb R$ .
Pero $\emptyset$ también puede ser visto en su "papel" como un set que contienen objetos. Y como conjunto es un contenedor de cero elementos (por definición). Así que su cardinalidad es $0$ .
[En caso de que te lo estés preguntando: Sí, $1$ y $2$ también son conjuntos en lo que respecta a la teoría de conjuntos. Se puede encontrar más información sobre esto en otras respuestas en este sitio, por ejemplo. aquí .]
DanV
Puntos
281
Los conjuntos pueden ser elementos de otros conjuntos. También pueden ser subconjuntos. Eso es irrelevante para definir la cardinalidad de un conjunto.
La cardinalidad de un conjunto es "el número de elementos en un conjunto". $\varnothing$ no tiene elementos. Tiene cero elementos. Así que su cardinalidad $0$ . Así es. $\{1,2\}$ tiene cardinalidad $2$ sin tener en cuenta el hecho de que es un elemento de $A$ .
