En geometría diferencial, diferencial formas son totalmente anti-simétrica tensores y juegan un papel importante. Soy llevado a preguntarme ¿por qué no le estudio totalmente simétrica tensores, tanto como las formas. ¿Qué propiedades de las formas diferenciales que los hace tan útiles en geometría ? Y hay lugares en la geometría en forma completamente simétrica tensores son importantes objetos de estudio ?
Respuestas
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Es el lenguaje natural para describir las nociones de volumen y orientación. Como usted sabe de álgebra lineal, el determinante de una lista ordenada de $n$ vectores en $\mathbf R^n$ es una medida natural de la firmó el volumen del paralelepípedo que abarcan. El factor determinante es, naturalmente, la alternancia, y puede ser descrito de forma muy sencilla mediante la alternancia de formas. Si $T$ es un endomorfismo de un espacio vectorial $V$ de la dimensión de $n$, entonces se induce un endomorfismo $\Lambda^nT$ sobre la parte superior exterior de energía $\Lambda^nV$, que es un uno-dimensional espacio vectorial. Un endomorfismo de un espacio tridimensional es simplemente la multiplicación por una constante, y esta constante es, precisamente, $\det T$ (incluso se podría tomar esto como una definición).
Esto expresa el hecho de que el factor determinante es la "dilatación" factor de $T$ que actúa sobre un elemento de volumen infinitesimal.
Simétrica tensores tienen sus propios usos, pero no tienen las propiedades adecuadas para servir de base para el cálculo.
ray247
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Creo que una de las razones es mucho básicos de la geometría diferencial construcciones son anti-simétrica por la naturaleza. Por ejemplo, no importa que la conexión que usted elija, la curvatura es siempre definida por $$ K(X,Y)Z=\nabla_{X}\nabla_{Y}(Z)-\nabla_{Y}\nabla_{X}(Z)-\nabla_{[X,Y]}(Z) $$ y es evidente por la definición que $K(X,Y)(Z)=-K(Y,X)Z$. Por lo que la curvatura es lo que se llama un formulario de dos. Este y el requisito de que la conexión tiene que ser compatible con la métrica dar lugar a un montón de identidades para la curvatura de Riemann tensor. Puesto que la curvatura es el corazón de la geometría diferencial, no es de extrañar que el anti-simétrica propiedades tiene que jugar un papel crucial.
La otra razón tiene que ver con la de Rham cohomology. El anti-simétrica de la naturaleza de las formas actuado muy bien cuando se introduce exterior de la diferenciación. Y un montón de construcciones - volumen formas, característico de las clases, etc, son naturales desde esta perspectiva. Sin embargo, creo que tanto simétrica y anti-simétrica qualties son importantes: la métrica tensor es simétrico, los símbolos de Christoffel de una conexión simétrica es simétrica, y son igualmente importantes - no se puede definir nada sin la métrica en la geometría.
Avi
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Advertencia: este es un muy incompleta respuesta. Utilizando el famoso lema "Un tensor es lo que transforma como un tensor", yo diría que las formas diferenciales son fundamentales debido a su "enlace" con la integración, y las aplicaciones posteriores.
Sólo un pequeño comentario: el trabajo en característicos 0, yo diría que simétricas álgebras son muy importantes: juegan un papel importante, por ejemplo, en el Koszul la dualidad de la teoría o estudio de álgebras de Lie.
