Anteriormente hice una pregunta que mostraba que $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ para $n$ un entero libre cuadrado mayor que 3 no es un UFD.
Dado que PID implica UFD, esto también significa $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ no es un PID. ¿Hay algún ejemplo de un ideal en este anillo que no sea principal?
Mi pregunta anterior está aquí ¿Por qué es $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}], n\ge 3$ ¿no es un UFD?
Si $R$ es un dominio y $p$ es un irreducible que no es primo, entonces cualquier testigo de que $p$ no es un primo da testimonio de que $R$ no es un PID: supongamos que $p|ab$ pero $p$ tampoco divide $a$ o $b$ . Entonces $(p,a)$ no es principal: si $(p,a)=(x)$ entonces $x|p$ ya que $p$ es irreducible, o bien $x$ es una unidad, o $x$ es un asociado de $p$ .
Si $x$ es un asociado de $p$ Entonces, como $(p,a)=(x)$ tenemos que $x|a$ Por lo tanto $p|a$ una contradicción.
Si $x$ es una unidad, entonces $(p,a)=(x)=(1)$ . Por lo tanto, existe $\alpha,\beta\in R$ tal que $1=\alpha p + \beta a$ (ya que cada elemento de $(p,a)$ es de la forma $rp+sa$ para algunos $r,s\in R$ ), por lo que se multiplica por $b$ da $b=\alpha b p + \beta ab$ y como $p|ab$ se deduce que $p|b$ . Esta es otra contradicción.
Así, $(p,a)$ no puede ser principal. Por supuesto, tampoco puede $(p,b)$ .
Por lo tanto, si $n$ es par y $n\gt 2$ entonces $(2,\sqrt{-n})$ no es principal en $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ . Si $n$ es impar y $n\geq 3$ entonces $\text{}$$ (2,1+sqrt{-n})$ no es principal.
@goblin La convención más utilizada es que los dominios integrales son conmutativos, y los dominios no. Por otro lado, la convención más utilizada para 'primo' sólo se define en un anillo conmutativo, y 'irreducible' sólo se define en un dominio integral.
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