Cómo puedo probar que uno de $n$, $n+2$, y $n+4$ debe ser divisible por tres, para cualquier $n\in\mathbb{N}$

Question

Intuitivamente, es cierto, pero yo sólo puedo pensar en cómo decir las cosas "correctamente".

Tomemos, por ejemplo, mi respuesta a la siguiente pregunta:

Deje $p$ denotar una extraña prime. Se cree que hay infinitamente muchos de los números primos gemelos $p$, $p+2$. Probar que el único primer triple $p$, $p+2$, $p+4$ es el triple de $3,\ 5,\ 7$.

Y mi solución:

Dado un entero impar $n$, entre los tres enteros $n$, $n+2$ y $n+4$, uno de ellos debe ser divisible por $3$... Tres casos posibles son $n=3k$, $n+2=3k$, y $n+4=3k$. El único posible $k$ que hace $n$ prime es $k=1$. En este caso, dado un extraño prime $p$, $p=3$, $p+2=3$, o $p+4=3$. Esto implicaría que $p=3$, $p=1$, o $p=-1$. La única de estas tres que se prime es $p=3$, por lo tanto, el único de los tres uniformemente distribuidos los números primos son $3$, $5$, y $7$.

Hay una "mejor" manera que puedo afirmar que uno de los números enteros es divisible por 3? Esto se siente demasiado débil.

Answer 1

Si $n$ es divisible por $3$ no hay nada más que demostrar. Supongamos que $n$ no es divisible por $3$, a Continuación, el resto de dividir a $n$ $3$ es $1$ o $2$. En el primer caso $n + 2$ es divisible por $3$; en el segundo caso $n + 4$ es divisible por $3$.

Answer 2

$n+4$ es divisible por 3 si y sólo si $n+1$ es, eso es suficiente para considerar las tres números consecutivos $n$, $n+1$ y $n+2$, uno de los cuales es divisible por 3.

Answer 3

$$ \begin{array}{c|lcr} n & \ n & \ n+2 & \ n+4 \\ \hline 3k & \fbox{%#%#%} & 3k+2 & 3(k+1)+1 \\ 3k+1 & 3k+1 & \fbox{%#%#%} & 3(k+1)+2 \\ 3k+2 & 3k+2 & 3(k+1)+1 & \fbox{%#%#%} \\ \end{array} $$

Answer 4

Un poco tonto respuesta:

Usted probablemente sabe que $\displaystyle \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$\displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$; si no estas puede ser comprobado fácilmente a través de la inducción. Considere entonces \begin{align*} \sum_{i=1}^n (i^2 + 3i + 1) &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n \\ &= \frac{(2n^3 + 3n^2 + n) + 9(n^2+n) + 6n}{6} \\ &= \frac{2n^3 +12 n^2 + 16 n}{6} \\ &= \frac{n^3 + 6n^2 + 8n}{3} \\ &= \frac{n(n+2)(n+4)}{3} \end{align*}

En el lado izquierdo, tiene una suma de números enteros, de manera que el lado derecho es un número entero. Por lo tanto $3 | n(n+2)(n+4)$, y desde $3$ es un número primo que divide a uno de los tres factores.

Answer 5

Por el algoritmo de Euclides, uno de los tres casos debe contener:

1. $n=3k$, para algún entero $k$

2. $n=3k+1$, para algún entero $k$

3. $n=3k+2$, para algún entero $k$

Siga los casos 2,3 adelante a $n+2, n+4$ y que usted estará satisfecho con el resultado.