Deje $A$ $B$ ser discretos valoración anillos del mismo campo de fracciones. Supongamos $A \subset B$. A continuación,$A = B$?
Se me ocurrió este problema cuando estaba leyendo van der Waerden del Álgebra.
La motivación es el siguiente. Deje $A$ ser un Noetherian integralmente cerrado de dominio. Van der Waerden demostrado que todos los no-cero ideal $I$ puede ser el único descomponerse como $I \cong P_1^{e_1}\cdots P_n^{e_n}$ donde $P_1, \dots, P_n$ son distintos primer ideales de la altura de la 1 (la notación $\cong$, ver aquí la Ramificación de la teoría en Noetherian integralmente los dominios cerrados). Así que un primer ideal $P$ de la altura 1 define una discreta valoración en el campo de fracciones de $A$. Deje $V_P$ ser de su valoración anillo. Por otro lado, es bien sabido que la localización de la $A_P$ es un DVR. Me pregunto si $V_P = A_P$.
Respuesta
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Deje $A\subseteq B$ ser la valoración de los anillos con el mismo campo de fracciones de $K$. Denotar por $m_A$ $m_B$ de su consumo máximo de ideales. Tenemos:
(1) $m_B\subseteq m_A$: si $x\in m_B$, $x\ne 0$, a continuación, $x\in A$ o $x^{-1}\in A$. Si $x^{-1}\in A$$x^{-1}\in B$, lo $x$ es invertible en a $B$, una contradicción. Por lo tanto,$x^{-1}\notin A$, lo $x\in m_A$.
(2) $B=A_{m_B}$: es claro que $A_{m_B}\subseteq B$. Por el contrario, vamos a $x\in B$. A continuación, $x\in K$ y por lo tanto uno puede escribir $x=a_1/a_2$ con $a_1,a_2\in A$, $a_2\ne 0$. Si $a_2\mid a_1$$A$, $x\in A$ y hemos terminado. De lo contrario, $a_1\mid a_2$ e lo $a_2=a_1a$, lo $x=1/a$. Desde $x=a^{-1}\in B$, e $a\in B$ obtenemos $a\notin m_B$ y hemos terminado.
Si $A$ $B$ son Dvr, a continuación, $m_B=m_A$ (aquí asumo $B\ne K$), y por lo tanto tenemos $A=B$.
