Podemos dar una explícita${^*}$ ejemplo real de un número algebraico que seguramente no puede ser representada como una expresión construida a partir de los números enteros y primaria${^{**}}$ solo funciona?
${^*}$ explícito significa que podemos escribir una ecuación polinómica con coeficientes enteros tener la algebraica de números como una raíz, y en un intervalo de con racional de los límites que los aislamientos de esa raíz.
${^{**}}$ una expresión construida a partir de los números enteros y primaria función sólo significa cualquier medio válido de expresión en el conjunto de primaria expresiones de $\mathcal{E}$ (como se define en la que pregunta a MO). Brevemente, es finito combinación de los siguientes:
- la unidad imaginaria i$$,
- el exponente $x\mapsto e^x$,
- la principal rama del logaritmo natural $x\mapsto\ln x$, siempre $x\ne0$, y
- la multiplicación de la función $(x,y)\mapsto x\cdot$ y.
Tenga en cuenta que permite expresar las constantes de $\pi$, $e$, enteros, racionales, sumas, potencias, radicales, y también trigonométricas y las funciones hiperbólicas y sus inversas, por ejemplo, $$\pi=i\cdot i\cdot i\cdot \ln(i\cdot i).$$
Actualización: he vuelto a publicar esta pregunta en MO.
Respuestas
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Esto puede no ser lo que usted está buscando, pero, después de algunos retoques, me encontré con su ejemplo, de hecho, puede ser expresado en los radicales. Vamos,
$$x = 2\cos \frac{2\arctan k}{5}$$
entonces $x$ es una raíz de,
$$x^5-5x^3+5x+2\left(\frac{k^2-1}{k^2+1}\right) = 0$$
Este es el DeMoivre quintic en el disfraz,
$$x^5+5ax^3+5a^2x+b=0$$
y es soluble en los radicales. Su $\alpha$, a continuación, tiene la expresión radical,
$$\alpha = 2\cos \frac{2\arctan 2}{5} =\left(\frac{-3-4i}{5}\right)^{1/5}+\left(\frac{-3+4i}{5}\right)^{1/5} = 1.807059\dots$$
Si no me equivoco, este es un problema grave y poco se sabe acerca de él. Hace algunos años se publicó un artículo en el American Mathematical Monthly por Timothy Chow, ¿Qué es un formato Cerrado Número? (pdf aquí). Yo creo que lo que Chow se llama EL de los números son los mismos que los números que usted ha identificado.
Esta área está estrechamente conectado con Schanuel de la conjetura. Chow demuestra condicional resultado que es relevante aquí:
- Si Schanuel la conjetura es verdadera, entonces los números algebraicos $\alpha$ pertenecientes a la clase EL son, precisamente, aquellos cuyas ecuaciones se pueden resolver más de $\mathbb{Q}$ (es decir, el grupo de Galois de la división de campo de la polinomio mínimo de $\alpha$ es solucionable).
Ver corolario 1 en la página 444 de Chow del papel. No estoy seguro de que un solo ejemplo claro de que las respuestas a su pregunta es conocido, aunque yo estaría encantada de ser demostrado lo contrario.
