Es esta secuencia necesariamente de Cauchy?

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y $(x_n)$ una secuencia en la que para todos los $i,j,n\in\mathbb{N}_{>0}:$

$$d(x_i,x_j)<n+1\Rightarrow d(x_{i+1},x_{j+1})<n$$ $$d(x_i,x_j)<\frac{1}{n}\Rightarrow d(x_{i+1},x_{j+1})<\frac{1}{n+1}$$ Debe $(x_n)$ ser de Cauchy?

Creo que es, pero estoy teniendo problemas para probarlo. He probado las siguientes cosas:

• $d(x_{i+n},x_{j+n})\to 0\quad \forall i,j$. Esto es una consecuencia de $d(x_n,x_{n+1})\to 0$. En otras palabras, para cualquier $k$, las "lagunas de longitud $k$ enfoque de $0$".

• por lo suficientemente grande $i$, $d(x_i,x_{i+n})$ está delimitada (y por lo tanto tiene un convergentes larga). En otras palabras, arbitrariamente grandes brechas no puede aumentar sin límite siempre que son "lo suficientemente lejos en la secuencia".

Es posible el uso de cualquier de esto para mostrar $(x_n)$ es de Cauchy?

Answer 1

Aquí hay una pequeña tabla que me llamaron la

Lo siento por la calidad.

El orden es irrelevante, porque $d(x_i, x_j)=d(x_j,x_i)$. Básicamente, cada elemento en la columna de $i$, está limitada por la secuencia $\left \lceil d(x_1,x_i) \right \rceil + 1$, $\left \lceil d(x_1,x_i) \right \rceil$, $\left \lceil d(x_1,x_i) \right \rceil - 1$, ..., $1$, $\frac{1}{2}$, ... que va a $0$ mientras $\left \lceil d(x_1,x_i) \right \rceil$ está acotada. Y aquí está el resultado ...

Secuencia $\left \{ x_n \right \}$ es de Cauchy iff secuencia de $\left \{d(x_1,x_n) \right \}_{n=1}^{\infty }$ es acotada.

Bueno, básicamente cada secuencia de Cauchy es limitada (https://proofwiki.org/wiki/Cauchy_Sequence_is_Bounded), y así es $\left \{ d(x_1,x_n) \right \}_{n=1}^{\infty }$.

Y si $\left \{ d(x_1,x_n) \right \}_{n=1}^{\infty }$ es acotado, entonces para cada columna $i$, $$\lim_{j \to \infty } d(x_{1+j},x_{i+j})=0$$ o reemplace $j$ $n$ $$\lim_{n \to \infty } d(x_{1+n},x_{i+n})=0$$ y reemplace $i$ $p$ y $\forall p$ $$\lim_{n \to \infty } d(x_{1+n},x_{p+n})=0$$ sólo para hacer que se vea en la forma clásica. A continuación, $$d(x_{n},x_{p+n}) \leq d(x_{n},x_{1+n}) + d(x_{1+n},x_{p+n}) = d(x_{1+(n-1)},x_{2+(n-1)}) + d(x_{1+n},x_{p+n})$$

• $d(x_{1+(n-1)},x_{2+(n-1)})$ es de la primera columna.
• $d(x_{1+n},x_{p+n})$ es de la p-ésima columna.

bastante pequeños. Y el paso final, debido a que $\left \{ d(x_1,x_n) \right \}_{n=1}^{\infty }$ es acotado, no $\exists M \in \mathbb{N}$ tal forma que: $$d(x_{1},x_{2}) < M, \space d(x_{1},x_{p}) < M$$ $$d(x_{1+1},x_{2+1}) < M-1, \space d(x_{1+1},x_{p+1}) < M-1$$ $$...$$ $$d(x_{1+M-1},x_{2+M-1}) < 1, \space d(x_{1+M-1},x_{p+M-1}) < 1$$ $$d(x_{1+M},x_{2+M}) < \frac{1}{2}, \space d(x_{1+M},x_{p+M}) < \frac{1}{2}$$ $$d(x_{1+M+1},x_{2+M+1}) < \frac{1}{3}, \space d(x_{1+M+1},x_{p+M+1}) < \frac{1}{3}$$ $$d(x_{1+M+k},x_{2+M+k}) < \frac{1}{2+k}, \space d(x_{1+M+k},x_{p+M+k}) < \frac{1}{2+k}$$ $$...$$ $$d(x_{1+n-1},x_{2+n-1}) < \frac{1}{2+n-1-M}, \space d(x_{1+n-1},x_{p+n-1}) < \frac{1}{2+n-1-M}$$ $$d(x_{1+n},x_{2+n}) < \frac{1}{2+n-M}, \space d(x_{1+n},x_{p+n}) < \frac{1}{2+n-M}$$ Lo que básicamente significa $$d(x_{n},x_{p+n}) < \frac{1}{2+n-1-M} + \frac{1}{2+n-M} < \frac{2}{2+n-1-M}$$ que es independiente de la $p$.