la construcción de la Witt grupo

Question

He visto un par de construcciones de la llamada Witt grupo: parece que la mayoría de los autores comienzan con la conmutativa monoid de isometría clases de cuadrática plazas en suma directa, pase a la Grothendieck del grupo y, a continuación, cociente a cabo el subgrupo generado por el plano hiperbólico (a veces llamada la división cuadrática espacios).

En el tope de la Automorphic Formas y Representaciones, sin embargo, se afirma que uno sólo necesita cociente de la submonoid generado por el plano hiperbólico y el monoid así obtenido es ya un grupo. Para que podamos evitar el Grothendieck de la construcción en su totalidad. El contenido de esta declaración es que, dada una ecuación cuadrática espacio, existe otra tal que la suma directa de los dos es split (es decir, una suma de copias del plano hiperbólico). Pero no veo por qué no. ¿Alguien tiene una referencia o una explicación?

Answer 1

Sí, esto es cierto. (O casi cierto: uno no toma isometría clases de todas la formas cuadráticas, pero sólo el nonsingular.)

Si $q = \langle a_1,\ldots,a_n \rangle$ es un nonsingular diagonal cuadrática espacio, a continuación, tome $q' = \langle -a_1,\ldots,-a_n \rangle$. Entonces

$q \oplus q' \cong \langle a_1, -a_1 \rangle \oplus \ldots \oplus \langle a_n, - a_n \rangle$,

y es un estándar de ejercicio temprano para demostrar que para cualquier $a \in K^{\times}$, $\langle a, - a \rangle$ es isomorfo al plano hiperbólico. (Por ejemplo, cada nonsingular isotrópica forma cuadrática $Q$ es de la forma $Q' \oplus \langle 1,-1 \rangle$ para algunos una forma cuadrática $Q'$. O ver Corolario 11 en estas notas.) Por lo $q \oplus q'$ es completamente espacio hiperbólico y se identifica con $0$ en el cociente monoid, que es por lo tanto un grupo.

Si recuerdo correctamente, esto es, de hecho, mucho más cerca de Witt original sobre el asunto de la más moderna Grothendieck del grupo de enfoque.