Cómo probar por inducción que $3^{3n}+1$ es divisible por $3^n+1$ $(n=1,2,...)$

Question

Así que esto es lo que he intentado: Marcado la declaración de $n=1$ - es válido. Suponga que $3^{3n}+1=k(3^n+1)$ donde $k$ es un número entero (para algunos n). Para probar $n+1$: $$3^{3n+3}+1=3^33^{3n}+1=3^3(3^{3n}+1)-26=3^3k(3^n+1)-26=3^3k(3^n+1)-3^3+1=3^3[k(3^n+1)-1]+1$$ y estoy atascado. Cualquier ayuda por favor?

Answer 1

Como una alternativa interesante, tenga en cuenta que $x^3 +1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$, por lo que el establecimiento $x = 3^n$ da $3^{3n} + 1 = (3^n + 1)(3^{2n} - 3^n + 1)$.

Answer 2

Es cierto que para $n=1$. Suponga que tiene de $n$, yo.e: $3^{3n} + 1 = k(3^n +1)$, a continuación, considere la posibilidad de $$3^{3(n+1)} +1 = 27 \cdot 3^{3n} + 1 = 27 (3^{3n} +1) - 26 = 27k(3^n +1) - 26$$

Vamos a llegar a una más susceptibles forma $$\begin{equation}3^{3(n+1)} +1 = 9k3^{n+1} + 27k - 26 = 9k(3^{n+1}+1) + 18k - 26 \end{equation} \tag{1}$$

Por eso queremos demostrar que $3^{n+1} + 1$ siempre divide $18k - 26$ donde $$k = \frac{3^{3n} + 1}{3^n + 1} = 3^{2n} - 3^n + 1$$

Equivalentemente, queremos mostrar que $3^{n+1} + 1$ divide $18\cdot 3^{2n} - 18 \cdot 3^n - 8 $. Pero: $$18\cdot 3^{2n} - 18 \cdot 3^n - 8 = 2(3^{n+1} - 4)(3^{n+1} + 1) \quad \quad (\star)$$

Es entonces claro que $3^{n+1} + 1$ divide $18k - 26$ desde $2(3^{n+1} - 4)$ es un número entero.

Y, por lo tanto, desde el $3^{3(n+1)} + 1$ es la suma de dos términos (véase la $(1)$), cada divisible por $3^{n+1} + 1$, donde la divisibilidad mantiene debido a una relación que hemos explotado a partir de la hipótesis inductiva, que se hacen de forma inductiva.

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Si $(\star)$ parece un poco mágico, sólo tienes que mirar a $f(x) = 18x^2 - 18x - 8 = 2(3x-4)(3x+1)$ y sustituir en $x = 3^n$.