La forma del espacio de estado bajo diferentes tensor de productos

Question

Estoy estudiando actualmente generalizada de la probabilística. Permítanme aproximadamente recordar cómo esa teoría parece (puede omitir este y vaya a "Mi pregunta de" si usted está familiarizado con este).

Recordar: En una generalizada probabilística de la teoría (GPT), el conjunto de los estados está dada por un subconjunto convexo $\Omega \subset V$ real de un espacio vectorial (en el caso especial de la teoría cuántica, $\Omega$ es el conjunto de operadores de densidad y $V$ es el espacio vectorial de Hermitian operadores en un espacio de Hilbert). Una de las estadísticas de medición se describen mediante un conjunto de efectos. Un efecto es una funcional lineal $e \in V^*$ tal que $0 \leq e(\omega) \leq 1$ todos los $\omega \in \Omega$. Deje que el conjunto de efectos se denota por a $E(\Omega)$. La unidad de efecto $u \in E(\Omega)$ está dado por $u(\omega) = 1$ todos los $\omega \in \Omega$ (en un GPT, el conjunto de los estados $\Omega$ es siempre tal que dicho funcional $u \in V^*$ existe). Una medición es un conjunto $\{ e_1, \ldots, e_n \}$ de los efectos que $\sum_{i=1}^n e_i = u$.

Con el fin de describir los sistemas compuestos en un GPT, el concepto de tensor de productos que se introduce (en lo que sigue, un "producto tensor" del estado de los espacios de $\Omega_A$ $\Omega_B$ es una regla que indica cómo combinar los sistemas, y esta regla no tiene por qué coincidir con lo que normalmente se denomina tensor de producto en matemáticas, mientras que el producto tensor $e_A \otimes e_B$ significa que la costumbre producto tensor; creo que este es un mal de la terminología, pero es muy común en la teoría de la GPTs). Un estado $\omega^{AB} \in \Omega^{AB}$ de un sistema compuesto de dos subsistemas $A$ $B$ tiene que satisfacer \begin{equation} \text{normalization:} \quad (u^A \otimes u^B)(\omega^{AB}) = 1 \end{equation} y \begin{equation} \text{positivity:} \quad (e_A \otimes e_B)(\omega^{AB}) \geq 0 \quad \forall e_A \in E(\Omega_A), \forall e_B \in E(\Omega_B), \end{equation} donde $\otimes$ denota la costumbre (en terminología matemática) producto tensor. Estos dos requisitos a cumplir por cada estado de un sistema compuesto; son las restricciones mínimas para un sistema compuesto.

El máximo producto tensor $\Omega_A \otimes_\text{max} \Omega_B$ de los dos sistemas está dada por el conjunto de todos los $\omega^{AB} \in V_A \otimes V_B$ que satisfacen la normalización y la positividad (se llama máxima desde un mínimo de restricciones conducen a un máximo amplio conjunto de estados).

El otro caso extremo es el mínimo producto tensor , que está dada por todas las combinaciones convexas de producto estados $\omega_A \otimes \omega_B$, es decir, por todas las mezclas de productos de los estados.

También existen otras posibles formas de combinar los sistemas, es decir, los otros tensor de productos aparte de la máxima y la mínima producto tensor. Por ejemplo, el "producto tensor" en el quantum caso (que abarca toda la densidad de los operadores en $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$) no es ni el mínimo ni el máximo producto tensor.

Mi pregunta: me pregunto cuánto se puede inferir acerca de la estructura del espacio de estado $\Omega_A \otimes \Omega_B$ a partir de la estructura de la local del estado de los espacios $\Omega_A$, $\Omega_B$ al considerar los diferentes tipos de tensor de productos. Más precisamente, me pregunto si se puede relacionar las declaraciones que los estados locales forman una polytope y que el compuesto estados forman un polytope (hay tensor de productos que una declaración implica a los otros?). Hay tensor de productos que el compuesto estados forman un polytope mientras que los estados locales no? Hay tensor de productos que el compuesto estados forman siempre una polytope? Estoy interesado en todo tipo de argumentos que hacer declaraciones acerca de los conjuntos de los estados (no)politópica cuando derivadas de ciertos tipos de tensor de productos.

Agradezco cualquier tipo de argumento o de comentarios, etc.

Answer 1

"Siempre es un polytope" – definitivamente no. Por otra parte, en determinada situación,$Ω$, si un conjunto cerrado, puede no cambiar en absoluto; me refiero producto con el 0-dimensional del conjunto de los estados $Ω_{\rm id} = \{1\}$ (un punto), considerado como un subconjunto de 1-dimensional espacio vectorial $V_{\rm id} = {\mathbb R}$. Tiene el único efecto, la unidad de efecto, y corresponde a 1-estado cuántico del sistema.

Tomar el segundo sistema con $Ω_B\subset V_B$, y vemos que $V_{\rm id}\otimes V_B = V_B$. Entonces, es obvio que la positividad se define un cerrado cono hecho de $Ω_B$, mientras que la normalización da afín hyperplane $u^B = 1$ que contenía todos los de $Ω_B$, por lo que tenemos $Ω_B$ nuevo. Por otro lado, el mínimo producto tensor también es $Ω_B$ por la construcción. Ningún estado o el efecto puede ser ni añadido ni quitado.

Por lo tanto, el conjunto de puntos $Ω_{\rm id}$ es un objeto de identidad de cualquier tensor de la definición del producto, ya sea máxima o mínima, o lo que en la brecha. Producto de $Ω_{\rm id}$ y la segunda con sistema de cerrado $Ω_2$ debe dar exactamente este sistema: el mismo $Ω_2$ y, obviamente, el mismo $E(Ω_2)$. Pero si para restringir el OP pregunta de productos de más de-0-dimensional $Ω$, entonces yo no sé la respuesta.