Es alguien capaz de ayudarme con la siguiente ecuación en cuestión la función floor $\lfloor{x^2}\rfloor−\lfloor{3x}\rfloor+2=0$
No sé cómo lidiar con el suelo términos correctamente.
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Zach466920
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La solución de,
$$(1) \quad x^2-3\cdot x+2=0$$
Es, $x=1$ o $x=2$.
Para encontrar soluciones,a
$$(2) \quad [x^2]-[3\cdot x]+2=0$$
Debemos resolver seis sistemas de ecuaciones. Sin embargo, vamos a resolver ocho instructivo para los efectos. La primera es,
$$[x^2]=0$$ $$[3 \cdot x]=2$$
$$(a) \quad {2 \over 3} \le x \lt 1$$
La segunda es,
$$[x^2]=1$$ $$[3 \cdot x]=3$$
Que se resuelve de manera similar.
$$(b) \quad 1 \le x \lt {4 \over 3}$$
El tercero es,
$$[x^2]=2$$ $$[3 \cdot x]=4$$
Ligeramente más complicado, nos,
$$(c) \quad \sqrt{2} \le x \lt {5 \over 3}$$
La cuarta es,
$$[x^2]=3$$ $$[3 \cdot x]=5$$
$$(d) \quad \sqrt{3} \le x \lt 2$$
La quinta es,
$$[x^2]=4$$ $$[3 \cdot x]=6$$
$$(e) \quad 2 \le x \lt \sqrt{5}$$
El sexto es,
$$[x^2]=5$$ $$[3 \cdot x]=7$$
$$(f) \quad {7 \over 3} \le x \lt \sqrt{6}$$
El séptimo es,
$$[x^2]=6$$ $$[3 \cdot x]=8$$
$$(g) \quad {8 \over 3} \le x \lt \sqrt{7}$$
Algo va mal con esto. Debemos descartar esta solución porque es inconsistente. Básicamente estamos hecho.
El octavo es,
$$[x^2]=7$$ $$[3 \cdot x]=9$$
Que tiene una solución vacía. Hemos terminado. Hemos cubierto todos los casos. Números más altos como resultado no de la solución. Un menor número de resultados en las soluciones imaginarias.
Poniendo a estos en conjunto, es evidente que,
$${2 \over 3} \le x \lt {4 \over 3}$$ o $$\sqrt{2} \le x \lt {5 \over 3}$$ o $$\sqrt{3} \le x \lt \sqrt{5}$$ o $${7 \over 3} \le x \lt \sqrt{6}$$
Resuelve, $(2)$.
¿Por qué funciona esto? El principal hallazgo es que la función del suelo, se mantiene en valores enteros para el adecuado $x$. Si nos encontramos con estos límites en cada uno de los piso términos, podemos usar esto para resolver la ecuación. También vimos que hay sólo un número finito de ecuaciones a resolver, ya que sólo unos pocos tienen intersección de conjuntos de soluciones. Los que lo hacen, componen la solución a $(2)$.
Ver wolfram para la solución completa y gráfica.
Marconius
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A partir de la definición de la función del suelo tenemos
[corrección] $$\begin{align} x^2-1 &< &\lfloor x^2 \rfloor &\le x^2 \\ 3x-1 &< &\lfloor 3x \rfloor &\le 3x \end{align}$$
y así $$\lfloor x^2 \rfloor - \lfloor 3x \rfloor + 2 > x^2-3x-1+2=x^2-3x+1$$
Así todas las soluciones para el piso de la ecuación debe estar entre las dos raíces de la $x^2-3x+1=0$. Que es
$$\frac{3-\sqrt5}{2}\le x \le \frac{3+\sqrt5}{2}$$
Ahora tratando de varios casos:
$$\begin{align} \lfloor 3x \rfloor=2,&\lfloor x^2 \rfloor=0&\implies x\in\left[\frac{2}{3},1\right)\cap[0,1)=\left[\frac{2}{3},1\right) \\[1em] \lfloor 3x \rfloor=3,&\lfloor x^2 \rfloor=1&\implies x\in\left[1,\frac{4}{3}\right)\cap[1,\sqrt2)=\left[1,\frac{4}{3}\right) \\[1em] \lfloor 3x \rfloor=4,&\lfloor x^2 \rfloor=2&\implies x\in\left[\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)\cap[\sqrt2,\sqrt3)=\left[\sqrt2,\frac{5}{3}\right) \\[1em] \lfloor 3x \rfloor=5,&\lfloor x^2 \rfloor=3&\implies x\in\left[\frac{5}{3},2\right)\cap[\sqrt3,2)=[\sqrt3,2) \\[1em] \lfloor 3x \rfloor=6,&\lfloor x^2 \rfloor=4&\implies x\in\left[2,\frac{7}{3}\right)\cap[2,\sqrt5)=[2,\sqrt5) \\[1em] \lfloor 3x \rfloor=7,&\lfloor x^2 \rfloor=5&\implies x\in\left[\frac{7}{3},\frac{8}{3}\right)\cap[\sqrt5,\sqrt6)=\left[\frac{7}{3},\sqrt6\right) \\[1em] \end{align}$$
Así que la solución completa es:
$$x\in\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\cup\left[\sqrt2,\frac{5}{3}\right)\cup\left[\sqrt3,\sqrt5\right)\cup\left[\frac{7}{3},\sqrt6\right)$$
Steven Gregory
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$$\lfloor{x^2}\rfloor−\lfloor{3x}\rfloor+2=0$$
\begin{matrix} x-1 &\lt &\lfloor x\rfloor &\lt &x+1\\ x^2-1 &\lt &\lfloor x^2\rfloor &\lt &x^2+1\\ \\ 3x-1 &\lt &\lfloor 3x\rfloor &\lt &3x+1\\ -3x-1 &\lt &-\lfloor 3x\rfloor &\lt &-3x+1\\ \\ x^2-3x-2 &\lt &\lfloor x^2 \rfloor-\lfloor 3x\rfloor &\lt &x^2-3x+2\\ x^2-3x-2 &\lt &-2 &\lt &x^2-3x+2\\ -2 &\lt &-x^2+3x-2 &\lt &2\\ -2 &\lt &x^2-3x+2 &\lt &2\\ 0 &\lt &x &\lt &3 \end{de la matriz}
Los lugares donde $\lfloor x^2\rfloor$ cambios de valor son $\{1, \sqrt 2, \sqrt 3, 2, \sqrt 5, \sqrt 6, \sqrt 7, \sqrt 8, 3 \}$
Los lugares donde $\lfloor 3x\rfloor$ cambios de valor son $\{\frac 13, \frac 23, 1, \frac 43, \frac 53, 2, \frac 73, \frac 83, 3 \}$
La lista ordenada de la unión de estos dos conjuntos es $$\left\{\frac 13, \frac 23, 1, \frac 43, \sqrt 2, \frac 53,\sqrt 3 , 2, \sqrt 5, \frac 73, \sqrt 6, \sqrt 7, \frac 83, \sqrt 8, 3 \right\}$$
\begin{matrix} \text{breakpoint} & \lfloor x^2\rfloor &\lfloor 3x\rfloor & \lfloor{x^2}\rfloor−\lfloor{3x}\rfloor+2\\ \frac 13 & 0 & 1 & 1 &\\ \frac 23 & 0 & 2 & 0 & \checkmark\\ 1 & 1 & 3 & 0 & \checkmark\\ \frac 43 & 1 & 4 & -1 &\\ \sqrt 2 & 2 & 4 & 0 & \checkmark\\ \frac 53 & 2 & 5 & -1 &\\ \sqrt 3 & 3 & 5 & 0 & \checkmark\\ 2 & 4 & 6 & 0 & \checkmark\\ \sqrt 5 & 5 & 6 & 1 &\\ \frac 73 & 5 & 7 & 0 &\checkmark\\ \sqrt 6 & 6 & 7 & 1 &\\ \sqrt 7 & 7 & 7 & 2 &\\ \frac 83 & 7 & 8 & 1 &\\ \sqrt 8 & 8 & 8 & 2 &\\ 3 & 9 & 9 & 2 &\\ \end{de la matriz}
Por lo tanto el conjunto solución es
$$ x \in \left[ 2/3, 4/3 \right) \cup \left[ \sqrt 2, 5/3 \right) \cup \left[ \sqrt 3, \sqrt 5 \right) \cup \left[ 7/3, \sqrt 6 \right) $$
gnyrinn
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Para cualquier $x$ que proporcionan una solución para su problema, $x$ debe satisfacer estos dos de las desigualdades
$$ x^2-3x+2 \geq 0\\ x^2-3x+2<1 $$
A partir de la primera ecuación vemos que $(x-2)(x-1)\geq 0$, por lo que hemos reducido el espacio de la solución a $\mathbb{R}\setminus ]1,2[$.
La segunda ecuación nos da $x^2-3x+1<0$ lo que nos da el espacio de la solución $]\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}[$, aproximada a $]0.382,2.618[$
Sabiendo que tanto las desigualdades deben ser satisfechos llegamos a una intersección de estas dos soluciones de espacios, es decir, $$ x\in ]\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}[ \quad \setminus \quad ]1,2[\quad = \quad]\frac{3-\sqrt{5}}{2},1] \copa[2, \frac{3+\sqrt{5}}{2}[ $$
Que se puede aproximar a
$$ x \in ]0.382,1]\copa [2,2.618[ $$
