Coef. de $x^{97}$ $f(x) = (x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)\cdot (x-4)\cdot ........(x-100)$

Question

Si $f(x) = (x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)\cdot (x-4)\cdot ........(x-100)\;,$, Entonces el Coeficiente de $x^{99}$ y

Coeficiente de $x^{98}$ y el Coeficiente de $x^{97}$ $f(x).$

$\bf{My\; try::}$ Podemos escribir $f(x)$

$$\displaystyle f(x) = x^{100}-\left(\sum_{i=1}^{100}i\right)x^{99}+\left(\mathop{\sum^{100}\sum^{100}}_{i=1\ \ j=1\ i<j}i\cdot j\right)x^{98}-\left(\mathop{\sum^{100}\sum^{100}\sum^{100}}_{i=1\ j=1\ k=1\ i<j<k}i\cdot j\cdot k\right)x^{97}+..$$

Por lo $\bf{Coefficients}$ $$\displaystyle x^{99} = -\sum_{i=1}^{100}\left(1+2+3+......+100\right) = -\frac{100\cdot 101}{2} = -5050$$

Del Mismo Modo Coef. de $$\displaystyle x^{98} = \mathop{\sum^{100}\sum^{100}}_{i=1\ \ j=1\ i<j}i\cdot j = \frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=1}^{100}i\right)^2-\sum_{i=1}^{100}i^2\right] = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{100\cdot 101}{2}\right)^2-\frac{100\cdot 101\cdot 201}{6}\right]$$

Pero no entiendo Cómo puedo calcular Coef. de $\displaystyle x^{97} =-\mathop{\sum^{100}\sum^{100}\sum^{100}}_{i=1\ j=1\ k=1\ i<j<k}i\cdot j\cdot k$

Me ayude, Gracias

Answer 1

Para el coeficiente de $x^{97}$ se puede aplicar un método similar a la que utilizó para encontrar el coeficiente de $x^{98}$. Usted ya ha notado que el coeficiente de $C$ $x^{97}$ es $$C:=-\mathop{\sum^{100}\sum^{100}\sum^{100}}_{i=1\ j=1\ k=1\ i<j<k}i\cdot j\cdot k=-\sum_{i=1}^{98}\sum_{j=i+1}^{99}\sum_{k=j+1}^{100}i\cdot j\cdot k.$$ Podemos calcular $C$ a partir de la identidad $$\left(\sum_{i=1}^{100}i\right)^3=-2\sum_{i=1}^{100}i^3+3\left(\sum_{i=1}^{100}i^2\right)\left(\sum_{j=1}^{100}j\right)-6C.$$ La reescritura de la por encima de los rendimientos \begin{eqnarray*} C&=&-\frac{1}{6}\left[\left(\sum_{i=1}^{100}i\right)^3+2\sum_{i=1}^{100}i^3-3\left(\sum_{i=1}^{100}i^2\right)\left(\sum_{j=1}^{100}j\right)\right],\\ &=&-\frac{1}{6}\left[\left(\tfrac{1}{2}\cdot100\cdot101\right)^3+2\cdot\left(\tfrac{1}{4}\cdot100^2\cdot101^2\right)-3\cdot\left(\tfrac{1}{6}\cdot100\cdot101\cdot201\right)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\cdot100\cdot101\right)\right]\\ &=&-20618771250, \end{eqnarray*} modulo errores de cálculo.