Este pequeño paso de ❋3.01 a ❋4.5 es tan pequeño que apenas puedo ver la diferencia. Por favor, explique por qué es tan importante distinguir los dos. ¿Cuál es la importancia filosófica de esta distinción? Gracias.
❋3.01 es una definición: 
http://i.stack.imgur.com/5Ujin.png
❋4.5 es una afirmación de equivalencia: 
http://i.stack.imgur.com/ZQboI.png
En general, un definición como $*3.01$ [en notación moderna : $p \land q := \lnot (\lnot p \lor \lnot q)$ ] debe entenderse como un abreviatura .
Es decir, podemos sustituir en cada contexto en el que hemos utilizado $p \land q$ la fórmula original sin "alterar" el conjunto de teoremas derivables.
En teoría, no es necesario dar nunca una definición ... las definiciones no forman parte de nuestro tema, sino que son, en rigor, meras conveniencias tipográficas. En la práctica, por supuesto, si no introdujéramos definiciones, nuestras fórmulas se volverían muy pronto tan largas que serían inmanejables; pero teóricamente, todas las definiciones son superfluas. (Capítulo 1. Página 12, Merchant Books, 1910)
La utilidad de la definición se debe a dos causas:
En primer lugar, una definición suele implicar que el definiens es digno de consideración. De ahí que la colección de definiciones incorpore nuestra elección de temas y nuestro juicio sobre lo que es más importante. En segundo lugar, cuando lo que se define es (como ocurre a menudo) algo ya conocido, como los números cardinales u ordinales, la definición contiene un análisis de una idea común y, por tanto, puede expresar un avance notable. (Capítulo 1. Página 12, Merchant Books, 1910)
En $*4.5$ simplemente reformulan la definición anterior como una equivalencia. El comentario es :
Las siguientes fórmulas se deben a De Morgan [...]. La primera de ellas, se observará, no hace más que encarnar nuestra definición del producto producto lógico.
El contexto de $*4.5$ es :
nos ocuparemos de reglas análogas, más o menos, a las del álgebra ordinaria. Es a partir de estas reglas que comienza el "cálculo de la lógica formal" habitual. [...] Así, dos dos proposiciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad.
La diferencia fundamental entre *3.01 y *4.5 es que la segunda afirma una proposición y la primera no afirma ninguna proposición. Una definición no siempre conduce a la equivalencia entre el definiendum y el definien. Tomemos como ejemplo *30.01 y *30.22:
*30.01 $ R‘y =(℩x)(xRy) $ Df
*30.22 $ E!R‘y.≡.R‘y =(℩x)(xRy) $
Tenga en cuenta que no necesariamente tenemos $R‘y =(℩x)(xRy)$ que sólo es cierto cuando $E!R‘y$ .
Esto es así porque cuando un símbolo incompleto aparece en una proposición, el definiendum es la proposición, en lugar del símbolo incompleto aislado. Así, "el actual rey de Francia es el actual rey de Francia" es falso. Véase *14.28 para una mayor ilustración.
No parece haber una condición general en PM que permita que una definición implique una equivalencia. Dichas implicaciones tienen que demostrarse en casos particulares. Por eso *3.01 no puede sustituir a *4.5.
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