Representación Integral de la constante de Euler

Question

Probar que : $$\gamma=-\int_0^{1}\ln \ln \left ( \frac{1}{x} \right) \ \mathrm{d}x.$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler ($\gamma \approx 0.57721$).

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Esta integral se menciona en Wikipedia como en Mathworld , pero las soluciones que tenemos utiliza las consecuencias de este teorema. Me puedes dar una solución simple (no uso mucho avanzado teoremas), o al menos algunas pistas.

Answer 1

En esta respuesta, se muestra que desde $\Gamma$ es log-convexa, $$\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\gamma+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+x-1}\right)\etiqueta{1}$$ Establecimiento $x=1$ rendimientos $$\Gamma'(1)=-\gamma\etiqueta{2}$$ La integral de la definición de $\Gamma$ dice $$\begin{align} \Gamma(x)&=\int_0^\infty t^{x-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t\\ \Gamma'(x)&=\int_0^\infty\log(t)\,t^{x-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t\\ \Gamma'(1)&=\int_0^\infty\log(t)\,e^{-t}\,\mathrm{d}t\tag{3} \end{align}$$ Armando $(2)$ $(3)$ da $$\int_0^\infty\log(t)\,e^{-t}\,\mathrm{d}t=-\gamma\etiqueta{4}$$ Sustituyendo $t\mapsto\log(1/t)$ transforma $(4)$ a $$\int_0^1\log(\log(1/t))\,\mathrm{d}t=-\gamma\etiqueta{5}$$

Answer 2

$$I = \int_0^1 \log (-\log x)\,dx = \int_0^\infty e^{-x} \log(x)\,dx$$

Tomando nota de que

$$\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-x} x^{s-1}\, dx$$

nos encontramos con que

$$\Gamma'(1) = I = -\gamma$$

Answer 3

Usted puede ver una prueba aquí donde usamos ese $$\Gamma(z) = \frac{\exp{(-\gamma z)}}{z}\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{\exp \left({\frac z n}\right)}{1+\dfrac z n }$$

Hay otra prueba aquí donde utilizamos $$\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left( H_n-\log n\right)$$