Extensiones ciclotómicas de $\Bbb Q$

Question

Dejemos que $n>4$ y $(h,n) = 1$ . Cómo demostrar que $[\mathbb{Q}(\tan 2 \pi h/n):\mathbb{Q}]= \phi(n)$ o $\phi(n)/2$ o $\phi(n)/4$ respectivamente si $\gcd(n,8)<4$ o $\gcd(n,8)=4$ o $\gcd(n,8)>4$ .

(De hecho, esta es una pregunta de J. McCarthy Extensiones algebraicas de campos, cap. 2 . Sabemos por una pregunta anterior que $[\mathbb{Q}(\cos 2\pi h/n):\mathbb{Q}]=\phi(n)/2$ si $n>2$ y $\gcd(n,h)=1$ ; y también que si $n>4,$ $[\mathbb{Q}(\sin 2\pi h/n):\mathbb{Q}]=\phi(n), \phi(n)/4$ o $\phi(n)/2$ respectivamente, si $\gcd(n,8)<4$ , $\gcd(n,8)=4$ o $\gcd(n,8)>4$ .)