la diferencia de las raíces cuadradas de aproximación

Question

En dos de mis cursos de física en la última semana, he llegado a través de una aproximación de la diferencia de dos raíces cuadradas de gran radicands: $\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}\approx\frac{a-b}{2\sqrt x}$ grandes $x$.

No tengo idea de donde proviene. Wolfram|Alpha me da la respuesta más sencilla por entregarme esta como el primer término de la expansión de alrededor de $x=\infty$, pero ¿cómo se calcula? Yo sé cómo es normal en Series de Taylor de las expansiones son formulados, pero no entiendo cómo ejecutar este cálculo.

Tratando de conseguir la aproximación a solas, lo más cercano que he conseguido es con la lógica: $$ \frac{\sqrt{x+b+(a-b)}-\sqrt{x+b}}{a-b}\approx\frac{d}{dx}\sqrt{x+b} \\ \sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}\approx\frac{a-b}{2\sqrt{x+b}} $$ Pero, como usted puede decir, el radicando en la aproximación es incorrecta. (Por no hablar de la aproximación hay que $a\approx b$, no de un gran $x$.) Yo puedo decir que para la gran $x$, $\sqrt{x+b}\approx\sqrt{x}$, pero eso no explica por qué la versión con sólo $x$ como el radicando es más preciso. (Lo cual es cierto.) Además, también quiero saber cómo conseguir el mayor orden de los términos en la expansión.

Answer 1

La aproximación que usted le dio es, de hecho, a menudo más preciso. Multiplicar $\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}$ $\dfrac{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}$. Tenemos $$\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}=\frac{a-b}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}.\tag{$1$}$$ Esto no es una aproximación, es exacta.

Por otra parte, cuando se $x$ es muy grande en comparación a$|a|$$|b|$, el lado derecho de la $(1)$ es computacionalmente mucho mejor que el lado izquierdo. Para ver esto, imagina que estamos haciendo el cálculo en una calculadora, o en punto flotante en un equipo. Si $x$ es muy grande, como $10^{10}$, añadiendo $a$ a en una calculadora no cambia el valor, debido a la precisión limitada. Esto significa que nuestro resultado puede tener una gran relación de error.

Si $x$ es muy grande en comparación con $|a|$ o $|b|$, es poco el error relativo de hecho, si reemplazamos $\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}$$(1)$$2\sqrt{x}$.

Answer 2

Factor $x$ para obtener $$\sqrt{x}\left(\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - \sqrt{1 + \frac{b}{x}}\right)$$ Ahora expanda cada raíz cuadrada en un Binomio de la serie $$=\sqrt{x}\left(1 + \frac{a}{2x} - 1 - \frac{b}{2x} + \mathcal{O}(x^{-2})\right)$$ Para un gran $x$ podemos descuidar los términos de la orden de $x^{-2}$ y menor a hacer la aproximación $$\sqrt{x + a} - \sqrt{x + b} \approx \frac{a-b}{2\sqrt{x}}$$

Answer 3

Deje $f(x)=\sqrt{x}$. Entonces, para$x>0$,$f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h$. Por lo tanto $f(x+a)-f(x+b) = f(x+a)-f(x) - (f(x+b)-f(x)) \approx f'(x)(a-b)$. Desde $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, tenemos la aproximación deseada: $\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b} \approx \frac{1}{2\sqrt{x}}(a-b)$.

La aproximación proviene del teorema de Taylor, y puede ser extendida a órdenes superiores.