Existe una adecuada subcampo $K\subset \mathbb R$ tal que $[\mathbb R:K]$ es finito?

Question

Existe una adecuada subcampo $K\subset \mathbb R$ tal que $[\mathbb R:K]$ es finito? Aquí $[\mathbb R:K]$ significa que la dimensión de $\mathbb R$ $K$- espacio vectorial.

Lo que he intentado:

1. Si podemos encontrar un subgrupo finito $G\subset Gal (\mathbb C/\mathbb Q)$ tal que $G$ contiene el complejo de la conjugación, que se lleva a cabo dejando $K$ ser el campo fijo de $G$. Pero no sé si existe el grupo. Quizá podamos empezar con la búsqueda de un adecuado subgrupo de $Gal(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ y, a continuación, levántelo a $Gal(\mathbb C/\mathbb Q)$ donde $\bar{\mathbb Q}$ denota la clausura algebraica de $\mathbb Q$.
2. Por isomorfismo extensión del teorema, podemos encontrar muchos de los automorfismos de a $\mathbb C$, ninguno de ellos conlleva $\mathbb R$ a sí mismo excepto por la identidad. Esto es debido a que $Gal(\mathbb R/\mathbb Q)$ es la trivial grupo. Por ejemplo, supongamos $\{x_\alpha\}\subset \mathbb R$ es una trascendencia base sobre $\mathbb Q$. Deje $\sigma$ ser una permutación de $\{x_\alpha\}$, luego por el isomorfismo extensión del teorema de, $\sigma$ se extiende a un automorphism de $\mathbb C$, que todavía podemos denotar por $\sigma$. A continuación, $L=\sigma(\mathbb R)$ es una copia de $\mathbb R$ $\mathbb R$ es algebraico sobre $K=\mathbb R\cap L$. Cómo de grande puede $K$? Es posible que $[\mathbb R:K]$ es finito?

¿Alguien tiene algunas ideas?

Gracias!

Answer 1

Según Pete Clark respuesta en http://mathoverflow.net/questions/13769/orders-of-field-automorphisms-of-algebraic-complex-numberssi $L/K$ es una extensión de campo con $L$ algebraicamente cerrado y $[L:K]\lt\infty$,$[L:K]=1 {\rm\ or\ } 2$. Ahora, $\bf C$ es algebraicamente cerrado, y si $K$ es un subcampo de la $\bf R$,$[{\bf C}:K]=2[{\bf R}:K]$, lo que casi se asienta.