Qué $\sum a_n$ convergen si $a_n = \sin( \sin (\cdots( \sin(x))\cdots)$, $\sin$ se aplica n veces y $x \in (0, \pi/2)$?
¿Qué acerca de la $\sum a_n^r$$r \in \mathbb{R^+}$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
- Classicaly, $\displaystyle a_n=\sqrt\frac{3}{n}+o\left(\sqrt\frac{3}{n}\right)$
La serie $\sum a_n$ es por lo tanto divergentes.
- Con la anterior asympotical estimación, $\sum a_n^r$ converge iff $1/2-r> 1$
La prueba de la primera reclamación:
Notación: Dadas dos secuencias de $u_n$$v_n$, observamos $u_n\sim v_n$ fib $ \lim_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=1$
Ahora, de vuelta a la asymptotics:
$$\begin{align} \frac{1}{a_{n+1}^2}-\frac{1}{a_n^2}=\frac{1}{\sin(a_n)^2}-\frac{1}{a_n^2}&=\frac{1}{a_n^2-\frac{a_n^4}{3}+o(a_n^4)}-\frac{1}{a_n^2}\\&=\frac{1}{a_n^2}\left(\frac{1}{1-\frac{a_n^2}{3}+o(a_n^2)}-1\right)\\&=\frac13+o(1) \\\end{align}$$
Por Cesaro significa teorema, $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{a_{k+1}^2}-\frac{1}{a_k^2}\right)=\frac13+o(1)$
Por lo tanto $\displaystyle a_n^2=\frac{1}{\frac{n}{3}+o(n)}=\frac{3}{n}\left(1+o(1)\right)$
Por lo tanto $\displaystyle a_n=\sqrt\frac{3}{n}+o\left(\sqrt\frac{3}{n}\right)$
La estimación puede ser refinado como $$a_n=\sqrt\frac{3}{n}-\frac{3\sqrt{3}}{10}\frac{\log(n)}{n\sqrt{n}}+o\left(\frac{\log(n)}{n\sqrt{n}}\right)$$
La prueba de la estimación de sumas parciales
Lema: Vamos a $u_n$ $v_n$ ser la secuencia tal que $u_n\sim v_n$, e $\forall n\in \mathbb N,v_n\geq 0$. Si $\sum_{n\geq 1}v_n$ diverge, entonces no $\sum_{n\geq 1}v_n$ $\sum_{k=1}^nu_k \sim \sum_{k=1}^nu_k$
Hemos demostrado hasta el momento que $\displaystyle a_n\sim \sqrt\frac{3}{n}$.
Por lo tanto, por el lema, $\displaystyle S_n \sim \sum_{k=1}^n \sqrt\frac{3}{k}$
Para estimar la última suma, un método integral viene muy bien: de hecho,
$$\forall n\geq 2, \int_n^{n+1}\frac{1}{\sqrt{t}}dt \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \int_{n-1}^n \frac{1}{\sqrt{t}}dt$$
Sumando estas desigualdades rendimientos $$\sum_{k=1}^n \sqrt\frac{3}{k} \sim 2\sqrt{3n} $$
Por lo tanto $S_n \sim 2\sqrt{3n}$
kryomaxim
Puntos
1880
Desde $sin(x)$ tiene valores sólo en $[0,1]$, la función de $sin(sin(x))$ tiene valores en $[sin(0),sin(1)]$. Por lo tanto,$a_{n+1}<a_n$. La estimación del límite superior:
$|\sum a_n| \leq \sum |a_n| \leq \sum sin(sin(...(1)))$ (se utiliza el triángulo de la desigualdad y la sinusoidal se aplica $n-1$ a veces).
Por otra parte se sostiene $sin(x) \leq x$ tal que (especialmente para las pequeñas discusiones en el seno) $sin(sin(...(x))) \leq x$. Por lo tanto, el límite superior puede ser estimado:
$|\sum a_n| \leq \sum 1= \infty$.
Debido a que las múltiples senos disminuyendo lentamente, esta serie diverge. Si el $a_n$ son exponentiated, el $a_n^r$ a ser menor cuando $r$ llegan a ser mayor; es el límite superior en el orden de $x^r$ $x \leq 1$ y cuando se suma a más de ello, la suma divergen como en el caso de $r=1$.
