la construcción de una secuencia de funciones simples con medida de Lebesgue se aproxima la integral de riemann

Question

Deje $\lambda$ el valor de la medida de Lebesgue en los conjuntos de Borel de [0,1]. Deje $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ser continua. Sé que la integral de Riemann $I:=\int_{0}^{1} f(x)dx$ existe. También sé que la integral de Lebesgue de $f$ existe. La pregunta es para la construcción de un aumento de la secuencia de funciones simples $h_{n}$ con límite de $f$ satisfacción $h_{n}\leq f$$\int h_{n} \ d\lambda \ \uparrow I$.

La sugerencia fue el uso de la definición de la integral de Riemann, así que he intentado.. Sabemos por $h_{n}$ debe ser sencilla que es de la forma $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} \textbf{1}_{A_{i}}$. Mi idea para $h_{n}$ ahora era

$$h_{n}=\sum_{i=1}^{n}\min_{x\in[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}]}|f(x)| \textbf{1} _{\{[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}]\}}$$

Si $s\in[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}]$ $h_{n}(s)$ toma el valor mínimo de la función $|f|$ en este intervalo.

Es obvio que tenemos $$\int h_{n} \ d\lambda=\sum_{i=1}^{n} \min_{x\in[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}]} |f(x)| \cdot \frac{1}{n}$$

Este hecho converge a $I$, el área bajo la función de $f$, pero ahora $h_{n}\leq f$ no posee y no es la secuencia de $h_{n}$ el aumento de a $f$.

También he tratado de no tomar el valor absoluto de a $f$ en la función de $h_{n}$, pero sólo el valor de$f(x)$, pero el de la integral de lebesgue de $h_{n}$ no accede al área bajo la función de $f$.

Alguien podría ayudarme a encontrar una secuencia $h_{n}$??

Yo entonces también tiene que demostrar que la integral de Lebesgue de $f$ es igual a la integral de Riemann, por lo $\int f d\lambda=I$

Answer 1

Así, las Matemáticas Chica, estoy sorprendido de que a usted se le pide construir una secuencia de la hipótesis de que la $f$ es no negativo. Recordemos que la integral de Lebesgue se define en términos de funciones simples PRIMERO al $f\geq 0$, y LUEGO se amplió para el caso general en el modo sencillo. Pero aún así, es fácil convertir tu idea en la que trabaja para general $f$: sólo el trabajo en el positivo y negativo de las piezas de $f$ por separado.

Answer 2

Desde $f$ es continua no es un $c\in{\mathbb R}$ $f(x)\geq c$ todos los $x\in[0,1]$.

Para $x\in[0,1]$ denotar por $I_n(x)$ el intervalo de la forma $[k\ 2^{-n},(k+1)2^{-n}[\ $, $\ k\in{\mathbb Z}$, que contiene el punto de $x$, y poner $$h_n(x):=\inf\{ f(t)\ |\ t\in I_n(x)\}\geq c\ .$$ A continuación, $h_n$ es constante en cada intervalo de $[k\ 2^{-n},(k+1)2^{-n}[\ $, lo $h_n$ es de hecho una función simple.

Desde $I_{n+1}(x)\subset I_n(x)$ se sigue que $h_{n+1}(x)\geq h_n(x)$, y el uniforme de la continuidad de la $f$ $[0,1]$ implica que, de hecho, $\lim_{n\to\infty} h_n(x)=g(x)$ uniformemente. Por lo tanto $$\lim_{n\to\infty} \int_{[0,1]} h_n\ d\lambda =\int_{[0,1]} f\ d\lambda$$ incluso en el sentido de las integrales de Riemann.

De ello se desprende que la secuencia de $\bigl(h_n\bigr)_{n\geq1}$ tiene las propiedades requeridas.