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Modificar las reglas de Gomoku (Cinco-en-uno-fila) o Conectar Cuatro tipo de juegos para hacer valer la equidad entre los jugadores

Un colega y yo estábamos discutiendo este problema durante el almuerzo de hoy, y se me hizo un poco de excavación durante varias horas después de regresar a mi oficina.

Hecho: Por un $(m,n,k)$del juego, no existe una estrategia que asegura que el segundo jugador va a ganar. Por ejemplo, en Cinco-en-uno-fila, primer jugador gana con juego perfecto.

Ahora nuestra pregunta es: Cómo modificar las reglas para que el juego sea justo para ambos jugadores?

Busqué en google un poco más, encontró un MSE pregunta que aborda la equidad de este tipo de juegos.

Creo que la justicia en esa pregunta se puede fortalecer mediante la siguiente definición: Un juego es justo si y sólo si dos jugadores juegan con la estrategia perfecta, el juego siempre va a ser un empate. Esto es justo en que este juego favorece jugador con menos errores. Por ejemplo, Tic-tac-toe es justo.

Varias propuestas para modificar las normas para hacer cumplir la justicia:

  1. Imponer más restricciones en el jugador que juega primero. Por ejemplo, Cinco-en-uno-fila prohibiciones negro para jugar "tres y tres", "cuatro y cuatro", y "rayas discontinuas superiores".

  2. Cambiar el $(m,n,k)$-juego a una $(m,n,k,p,q)$juego: $k$-en-una-fila en un $(m\times n)$-de la junta, el primer jugador pone $p$ piedras a bordo, en los posteriores movimientos, los jugadores poner a $q$ piedras a bordo. Por ejemplo, [Conectar 6].

  3. Ir a una dimensión superior. Por ejemplo, Cinco-en-uno-fila jugado en un $19\times 19\times 19$ "de la junta".

No soy experto en la combinatoria, la teoría de juegos o la complejidad computacional en juegos de mesa, pero siempre es bueno aprender cosas nuevas en tiempo de verano. Mi pregunta es: en Cualquiera de los documentos o tratados sobre la imparcialidad de este tipo de juegos? o más específicamente, cualquier prueba de la imparcialidad, utilizando por encima de los tres modificaciones de las reglas? especialmente, para los Cinco-en-uno-fila, hacer esas reglas adicionales que hacen que el juego sea justo?

Cualquier análisis de la equidad en los casos más sencillos como Conectar 4 es bienvenido también.

Por último, sólo por curiosidad, como un ávido Ir reproductor de mí mismo, me pregunto ¿hay algún análisis matemático en abordar el problema de la imparcialidad, utilizando komi en el Go? O Ir es demasiado complejo para analizar...

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MJD Puntos 37705

Aquí está una opción de un tipo que no sugieren.

Tomar cualquier simétrica juego. Modificar el juego de la siguiente manera: Después de que el primer jugador del primer movimiento, dar el segundo jugador la opción de continuar el juego como de costumbre, o cambiar de lugares, tomando la primera posición del jugador, y dando a la (ex) primer jugador el siguiente movimiento como segundo jugador.

Suponiendo que los lazos son posibles, en el mejor de jugar en ambos lados deben producir un empate. El primer jugador no va a hacer un primer movimiento que le garantiza una victoria, ya que si lo hacía, el segundo jugador acaba de cambiar de lugares y tomar la posición ganadora. Y tampoco la primera mano de jugador, el segundo jugador de ganar por hacer un mal primer paso. Mejor juego para el primer jugador es jugar en una posición que puede corbata, pero no ganar, y luego jugar por el empate. Si el segundo jugador pasa con él, él todavía puede jugar por el empate.

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MJD Puntos 37705

Ir a la mayor dimensión de no ayudar, hace que el problema empeore. El Hales-Jewett teorema implica que para cualquier fija $p$$n$, el primer jugador puede ganar el $p$-en-una-fila de juego en el $n^d$ pizarra para que todos lo suficientemente grande $d$. Así que la adición de dimensiones hace que estos juegos menos justo, no más justo.

Por ejemplo:

  • El primer jugador obviamente gana 2-en-una-fila $2^n$ directorio de $n>1$, pero cuando se $n=1$ él no puede hacer mejor que un empate.
  • Estándar $3\times 3$ tic-tac-toe es una herramienta fácil de atar. El primer jugador gana fácilmente tic-tac-dedo del pie en un $3^n$ directorio de $n \gt 2$.
  • El 4-en-una-fila de juego en un 4×4 de la junta está ligada, por una sencilla estrategia. El 4-en-una-fila de juego en un 4×4×4 de la junta es el primer jugador gana, pero la estrategia es lo suficientemente complicado como para ser un buen juego de todos modos. El 4-en-una-fila de juego en un $4^n$ directorio de $n\gt 3$ es un fácil de primer jugador gana con sencillo de jugar.

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dfan Puntos 549

En respuesta a tu última pregunta, Elwyn de Berlekamp ha introducido el concepto de Cupón Ir (video conferencia - la introducción se detiene alrededor de las 16:15 y el interesante debate que se inicia allí). En el Cupón de Ir, además de la junta hay una pila de tarjetas que van desde 20 (en la parte superior) 0.5 (en la parte inferior). Cuando es su turno, se le permite tomar y mantener la parte superior de la tarjeta (la pena que muchos de los puntos) en lugar de hacer una jugada en el tablero. Entre otras cosas, de esta forma, permite que los dos jugadores a la oferta en el komi valor en lugar de haber elegido para ellos.

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Otra opción es modificar ese juego por lo que hay dos etapas:

  • Al azar de determinar quien es el primer jugador
  • Juega el juego como de costumbre

Este faldas de la pregunta.

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