Un continuo bijection $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es un homeomorphism?

Question

Un continuo bijection $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es un homeomorphism. Con la habitual estructura métrica.

Siempre he oído que este hecho es cierto, pero nadie muestra para mí una prueba, y yo no puedo probarlo. Yo estaba intentado utilizar la definición de la continuidad, pero es imposible para mí la conclusión de que. He intentado utilizar el hecho de que $f$ bijective tiene una inversa $f^{-1}$ y el hecho de que $ff^{-1}$ $f^{-1}f$ son continuas identidad, pero no puedo seguir.

Answer 1

Creo que tengo la respuesta usando Michael Greinecker sugerencia. Primera vez que voy a probarlo, porque yo no vi este teorema anterior.

Sugerencia: Un continuo inyectiva función de los reales a los reales deben ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Prueba: Supongamos $I=[a,b]$ ser un intervalo cerrado con $a<b$, sin pérdida de generalidad que puedo asumir $f(a)<f(b)$, quiero demostrar que la $f|_{I}$ es estrictamente creciente. Si no existe, no existe $x< y$ $f(x)>f(y)$ por la inyectividad no puede ser el de la igualdad. Si $f(a)<f(y)<f(x)$ intermedio teorema del valor darle a me $c\in(a,x)$ tal que $f(c)=f(y)$ pero no puede ser por la inyectividad. Si $f(y)<f(a)$ es el mismo. Sugerencia sigue del hecho de que si $f$ es estrictamente creciente en cualquier intervalo cerrado, obviamente lo es en los reales. A continuación, $f$ es estrictamente creciente. $\square$

Si la imagen es todo, voy a probar que $f^{-1}=g$ es continua. Es bien sabido que si $f$ es estrictamente creciente, a continuación,$g$, por lo que es. Voy a probar la continuidad en algunos $a\in\mathbb{R}$. Deje $\epsilon>0$ $g(a)-\epsilon/2$ $g(a)+\epsilon/2$ han preimages deje $g(b)=g(a)-\epsilon/2$ $g(c)=g(a)+\epsilon/2$ $b<a<c$ por la sugerencia, entonces obtendremos $\delta=\min\{|b-a|,|c-a|\}$ $g$ es continuo, por lo tanto, $f$ es un homeomorphism.