¿Cómo se puede mostrar $100!=100 \cdot 99!$ mediante argumentos combinatorios

Question

¿Cómo se demuestra $100!=100\cdot 99!$ utilizando argumentos combinatorios?

Answer 1

$n!$ puede representar el número de permutaciones de $n$ diferentes objetos en $n$ lugares. Así, si fijamos $99!$ como la permutación de $99$ diferentes objetos en $99$ lugares, si añade $1$ y $1$ lugar entonces puede elegir $99+1=100$ diferentes maneras de comenzar esta "secuencia" de objetos, y luego ordenar los $99$ dejó objetos en $99!$ diferentes maneras.

En términos más generales, si tiene $n$ diferentes objetos en $k$ lugares, puede construir $n(n-1)\cdot \dots \cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1)$ diferentes secuencias ordenadas, de hecho para el primer lugar de la secuencia se puede elegir entre $n$ objetos, en segundo lugar $n-1$ y así sucesivamente...

Answer 2

He aquí otra explicación combinatoria:

Imagina que tienes $n$ objetos únicos (por ejemplo, diamantes) de los cuales uno es particularmente importante (Arkenstone). Dispones de $n$ ranuras en un cofre para colocar estos diamantes, pero sólo te interesa la ubicación/ranura particular de Arkenstone. Usted sabe que hay $n!$ formas de colocar estas piedras, y no te importa en absoluto el orden o la ubicación de las otras $n-1$ piedras, obviamente hay $(n-1)!$ formas de ordenarlos. También sabes que puedes poner Arkenstone en cualquiera de $n$ ranuras. Por lo tanto, $$ \frac{n!}{(n-1)!}=n $$

División por $(n-1)!$ significa que "no le importa" el orden de los demás $n-1$ objetos.

Answer 3

$$\begin{pmatrix} 100 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{100!}{1!(99!)} = 100\Rightarrow 100!=100(99!)$$