Cuál es la condición que asegura que la solución es periódica? (ODE)

Question

Supongamos que $\phi$ es una solución para la educación a distancia \begin{align} x' = f(x) + \sin(t) \end{align} Cuál es la condición que nos podemos poner en $f$ para asegurarse de que $\phi$ es periódica de período de $2\pi$? Es decir, ¿qué podemos hacer para $f$, de modo que $\phi(0) = \phi(2\pi).

Bien, ahora para mi enfoque. Por favor, dime si he hecho un error, yo soy bastante nuevo en estas cosas. Por lo tanto, quiero hacer $f$ (...) (y no podría ser algo mucho, mucho más específicas y mejor)

Denotar por $x(t,\alpha)$ la solución de la educación a distancia, $x(t)$ tal que $x(0) = \alpha$. Ahora, considere la función \begin{align} g(\alpha) = x(2\pi,\alpha). \end{align} donde $\alpha \in [a,b] \subset [-1,1].$

Ahora, aquí está mi "condición" en la $f$: Elija $f$ , de modo que $f$ está definida en el intervalo de $[a,b]$ tal que $[-1,1] \subset [a,b]$. Deje $f$ tienen la condición de que si $x > 1, x'<0$ (Esto significa que para$x > 1$,$f(x) < -1$. Del mismo modo, si $x < -1, f(x) > 1$, y por lo tanto $x' > 0$.

Por lo tanto, las soluciones que se inician en $[a,b]$ permanecen en $[a,b]$. Ahora, esto significa que \begin{align} g: [a,b] \rightarrow [a,b], \end{align} y podemos utilizar Brouwer del teorema de punto fijo para garantizar que exista $\alpha^{*}$ tal que $g(\alpha^{*}) = \alpha^{*}$, y por lo tanto la solución de $x(t,\alpha^{*})$ $2\pi$ periódico.

Answer 1

Su idea es correcta. Esto es algo más simple y más general. Elija cualquier intervalo de $[a,b]$ $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ (lo suficientemente suave como, por ejemplo, de Lipschitz) tal que $f(a)\ge1$$f(b)\le-1$. Vamos $x_1(t)=a$, $x_2(t)=b$. Entonces $$ x_1'(t)\le f(x_1(t))+\sin t\text{ y }x_2'(t)\ge f(x_2(t))+\sen t, $$ es decir, $x_1$ es un sub solución y $x_2$ un super solución. Entonces para cualquier $\alpha\in[a,b]$ $$ un\le x(t,\alpha)\b le,\quad 0\le t\le2\,\pi. $$ A continuación,$g([a,b])\subset[a,b]$. También se $g$ es continua, y $g$ tiene un fijo de poit.