La evaluación de la acción de Einstein-Hilbert

Question

La acción de Einstein-Hilbert está dada por,

$$I = \frac{1}{16\pi G} \int_{M} \mathrm{d}^d x \, \sqrt{-g} \, R \, \, + \, \, \frac{1}{8\pi G}\int_{\partial M} \mathrm{d}^{d-1}x \, \sqrt{-h} \, K$$

incluyendo el Gibbons-Hawking-York límite de plazo. Un conocido derivación de la entropía de la métrica de Schwarzschild requiere la evaluación de la frontera plazo. Sin embargo, uno debe introducir una radial regulador $R$, y restar fuera una contra-término que es el Gibbons-Hawking acción de emtpy espacio con el mismo límite. El resultado final es finito como $R\to\infty$.

Estoy intentando calcular el pleno de la acción de una solución para que $R\neq0$, por lo tanto necesito calcular el puro de Einstein-Hilbert pieza. Sin embargo, debo introducir un regulador, y el final de la acción no es finita como la llevo al infinito. Mi pregunta: existe un procedimiento análogo a "domesticar" el infinito de la pura Einstein-Hilbert pieza, quizás similar a la de tratamiento de los Gibones-Hawking plazo?

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La verdad es que tengo que introducir dos reguladores. Mi solución, el escalar de Ricci es independiente de un determinado coordinar, $x_1$, por lo que obtener un factor de $x_1$ después de la integración evaluados en $\pm\infty$, así que me introdujo a los reguladores, que $L^{-} < x_1 < L^{+}$. Como me tome $L^{\pm}\to \pm \infty$, por supuesto que es divergente.

Answer 1

Hay, de hecho, mucho mejor los procedimientos de la sustracción de fondo utilizada por Gibbons y Hawking. Para su procedimiento de trabajo, uno debe ser capaz de integrar la correspondiente regulación de la superficie en un "segundo plano", el espacio-tiempo. En algunos casos, usted puede hacer esto, pero en general no es posible que el espacio-tiempo de la dimensión mayor de 3. Para complicar las cosas, la "correcta" de fondo puede no ser clara. Sin embargo, siempre se puede construir una característica intrínseca de procedimiento para una clase dada de condiciones de frontera que se ocupa de estas divergencias. Este consiste en la adición adecuada de la superficie de los términos de la acción que no afectan a las ecuaciones de movimiento, pero representar la acción finita. La superficie de los términos generalmente puede ser escrito como las integrales de las funciones locales de la "frontera de datos" en la superficie que se utilizan para regular el cálculo.

(Tenga en cuenta que el verdadero problema no es la finitud de la acción, es si o no la variación de la acción realmente se desvanece "en la concha" arbitraria variaciones del campo que preservar las condiciones de frontera. Las diferencias que encontramos son en realidad un síntoma de este problema más profundo. Esto fue estudiado por primera vez para la formulación Hamiltoniana de GR por Regge y Teitelboim, en su artículo "el Papel de la Superficie de las Integrales en la Formulación Hamiltoniana de la Relatividad General", http://dx.doi.org/10.1016/0003-4916(74)90404-7 . Una vez que esta cuestión se aborda la acción resultante será siempre dan resultados razonables.)

El tipo de procedimiento que estoy describiendo primero fue entendido por asintóticamente de Sitter spacetimes; ver Balasubramanian y Kraus (http://arxiv.org/abs/hep-th/9902121) o Emparan, Johnson, y Myers (http://arxiv.org/abs/hep-th/9903238). En asintóticamente plana spacetimes el trabajo de Regge y Teitelboim fue generalizada para la formulación de Lagrange de GR por Mann y Marolf en http://arxiv.org/abs/hep-th/0511096 (ver también http://arxiv.org/abs/arXiv:0804.2079). Desde entonces, la técnica se ha extendido a una amplia variedad de teorías con diferentes asymptotics. Hay muchos ejemplos recientes -- toda una literatura, de verdad-incluyendo cosas como la no-relativista Lifshitz spacetimes (http://arxiv.org/abs/arXiv:1107.4451 y http://arxiv.org/abs/1107.5792), y muchas clases de teorías, que pueden reducirse a modelos de dos dimensiones (http://arxiv.org/abs/hep-th/0703230 y http://arxiv.org/abs/1406.7007).