Deje $M$ ser un suave colector (no necesariamente orientable) y deje $N=\partial M$. Es $N$ necesariamente orientable?
No tengo ninguna razón para creer que este es el caso, pero yo no era capaz de llegar con un contraejemplo.
Respuestas
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Sunny
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El ejemplo dado por azarel no es compacto. Aquí está un ejemplo compacto.
Sabemos cómo hacer que la botella de Klein (por ejemplo la fibra de un círculo sobre un círculo de una manera). Si reemplazamos la fibra del disco, a continuación, obtenemos un colector cuyo límite es la botella de Klein, es decir, el límite es no orientable.
lavinia
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271
El general es el teorema de que el colector es un límite si y sólo si todos sus Stiefel-Whitney números son cero. Esto puede suceder por tanto orientable y no-orientable colectores. La botella de Klein es el ejemplo más simple de un no-orientable colector que es un límite.
Aquí está la prueba de que todos los Stiefel-Whitney números son cero para la botella de Klein.
Desde la botella de Klein es una de 2 dimensiones de la superficie que tiene sólo dos Stiefel-Whitney números, el cuadrado de su primer Stiefel-Whitney clase y su segundo Stiefel Whitney clase tanto se evalúan en el mod 2 fundamentales del ciclo.
Si uno piensa en una botella Klein como un círculo paquete de más de un círculo, entonces el primer Stiefel Whitney clase es la intersección número con una fibra círculo. Su auto intersección número es cero. Todo esto puede ser visto fácilmente por el dibujo de una botella de Klein como la base fundamental de dominio de la acción del grupo de isometrías del plano generado por el estándar de celosía junto con el mapa (x,y) -> ( x + 1/2, -y), La fibra círculos son las proyecciones de las rectas que son perpendiculares al eje x.
De modo que el cuadrado de la primera Stiefel-Whitney clase es cero.
La segunda Stiefel Whitney clase es cero porque la botella de Klein tiene en todas partes un no-cero vector de campo. También se puede demostrar que es el cuadrado de la primera Stiefel-Whitney de la clase, y por lo tanto cero,debido a que la clasificación del mapa de la tangente paquete puede ser factorizado en el infinito real proyectiva del espacio.
Por lo tanto, la botella de Klein es un límite por Thom del teorema.
Pero la respuesta de la anterior, que se puede ampliar la fibra de un círculo, un disco que es verdad y esto muestra que la botella de Klein es un límite directamente. Si usted construye una botella Klein a partir de un cilindro por el que adjunta la delimitación de los círculos con una reflexión, entonces este mapa claramente se extiende hasta el cilindro sólido.
BTW: La primera Z/2 cohomology de la botella de Klein no es generado por la primera Stiefel Whitney clase. Su primer cohomology es isomorfo a Z/2 x Z/2.
Curiosamente, la plaza de los otros cohomology de clase, la que no es la primera Stiefel-Whitney clase no es cero. Esta clase es la intersección con el número de las ecuatorial círculo de la botella de Klein. Su auto-intersección de número, y por lo tanto el cuadrado de la cohomology de clase, no es cero. Esto se deduce del teorema del Valor Intermedio.
