Deje $\alpha, \beta \in \mathbb C$ tales $\alpha + \beta \in \mathbb Z$$\alpha \beta = j \in \mathbb Z$. Demostrar que para todos los $n \in \mathbb N,\alpha^n + \beta^n \in \mathbb Z$
Es esto una prueba de la correcta?
Base: $n = 1$, $\alpha + \beta \in \mathbb Z$ por hipótesis.
Inducción paso:
El uso completo de la inducción, si $\alpha^i + \beta^i = k_i$ tales $k_i \in \mathbb Z$ todos los $i \leq n$, entonces quiero ver que: $\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} \in \mathbb Z$
a continuación,
$$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = \alpha\alpha^{n} + \beta\beta^{n} =$$ uso: $\alpha^n + \beta^n = k_n$
$$ = \alpha(k_n - \beta^{n}) + \beta (k_n - \alpha^{n}) = $$
uso: $\alpha \beta = j \in \mathbb Z$
$$= k_n(\alpha + \beta) - j(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1}) = $$
el uso de la inducción de nuevo:
$$ = k_n k_1 - j k_{n-1} $$
dado que el número de evry es en $\mathbb Z$, luego de su probada.
Es este razonamiento correcto? es expresado correctamente?
