Pregunta sobre una métrica en $\mathbb{R}^2$

Question

¿Puede alguien decirme si la siguiente función $d:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es realmente una métrica o no en $\mathbb{R}^2$ .

$$ d((x_1,x_2),(y_1,y_2))= \begin{cases} |x_1-y_1|, &\text{ if } x_2=y_2\\ |x_1|+|y_1|+|x_2-y_2|, &\text{ if } x_2 \neq y_2. \end{cases} $$

Si realmente es una métrica, por favor da la prueba de la desigualdad del triángulo.(Me parece bien las otras dos condiciones).

Answer 1

Lo es. Su indexación me confunde, así que voy a cambiar el nombre de los puntos $p = (x_1, y_1)$ y $q = (x_2, y_2)$ . Entonces su métrica es

$$d(p, q) = \begin{cases} |x_1 - x_2|, &\text{ if } y_1=y_2\\ |x_1|+|x_2|+|y_1-y_2|, &\text{ if } y_1 \neq y_2. \end{cases}.$$

Esta métrica describe la longitud del camino más corto entre $p$ y $q$ que no puede moverse verticalmente, excepto en el $y$ -eje. (Imagínese que $\mathbb{R}^2$ se ha separado en filas horizontales, y la única manera de moverse verticalmente es ir a una columna central dada por el $y$ -eje).

Que esto sea efectivamente una métrica es un caso especial del siguiente resultado general, que probablemente es conocido implícitamente por mucha gente, pero nunca lo he visto escrito.

Propuesta: Cualquier función de la forma "longitud del camino más corto entre dos puntos que satisface la condición $P$ "en un espacio métrico $M$ con un métrica intrínseca es otra métrica siempre que

• el camino más corto entre dos puntos que satisfacen la condición $P$ existe,
• el camino trivial satisface la condición $P$ ,
• el reverso de un camino que satisface la condición $P$ también satisface la condición $P$ y
• la composición de dos trayectorias que satisfacen la condición $P$ también satisface la condición $P$ .

(En otras palabras, la colección de todos los caminos que satisfacen la condición $P$ es un conjunto de groupoid .)

Prueba. La primera condición implica que la función $d$ está bien definida. La segunda condición implica que $d(p, p) = 0$ . La tercera condición implica que $d(p, q) = d(q, p)$ . Desde $M$ tiene una métrica intrínseca, $d$ es automáticamente positiva-definida, por lo que queda por demostrar la desigualdad del triángulo.

Dejemos que $p, q, r$ sean tres puntos. La composición del camino más corto desde $p$ a $q$ Satisfaciendo a $P$ y el camino más corto desde $q$ a $r$ Satisfaciendo a $P$ es, por la cuarta condición, un camino desde $p$ a $r$ Satisfaciendo a $P$ por lo que tiene una longitud al menos igual a la longitud del camino más corto desde $p$ a $r$ Satisfaciendo a $P$ . Así,

$$d(p, r) \le d(p, q) + d(q, r)$$

como se desee.

Este argumento de optimización es en cierto sentido una razón fundamental para considerar la desigualdad del triángulo como un axioma razonable. De hecho, podría decirse que es el axioma más importante; hay buenas razones para abandonar cualquiera de los otros axiomas de un espacio métrico (algunos de los cuales corresponden a la eliminación de las condiciones anteriores) para obtener diversas generalizaciones de los espacios métricos, que se describen en el nLab entre otros lugares.