Cómo probar esto $\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}\le\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}$

Question

Deje $x,y>0$$xy\le 1$. Mostrar que $$\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}\le\dfrac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}.$$

Esta desigualdad tienen los mismos métodos de seguimiento?

Vi esta.

Deje $x,y>0, xy\le 1$. $$\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{xy}},$$ porque tenemos \begin{align} \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}-\dfrac{2}{1+\sqrt{xy}}&=\left(\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{1+\sqrt{xy}}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y}-\dfrac{1}{1+\sqrt{xy}}\right)\\ &=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2(\sqrt{xy}-1)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\le 0 \end{align}

Gracias a todos, o tienen bueno de otros métodos?

Answer 1

Como muestra $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}},$$ de ello se sigue que $$(\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}})^2\le 2 (\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y})\le \frac{4}{1+\sqrt{xy}}.$$